√ ルート 定義

質問

『ルート（√）a』とは、『２乗してaになる数』のうち，【正の数のことを指す】
と中学校で学習します。

中学校では、虚数の概念がないので致し方ないと思います。

例えば、√25=5などです。

冪根（power root）とは、
ある数aと自然数nについて，n乗してaとなる数をaのn乗根という。
です。ここで25の2乗根（平方根）は±5です。

高校数学で虚数を学んだ後では、√25=±5は成り立たないのでしょうか？

高校数学以上でも、
√（ルート）の定義は、『２乗してaになる数』のうち，【正の数のことを指す】
なのでしょうか？

どこか釈然としません・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

高校だと、微妙ですねえ。

大学で複素関数をちゃんと習うと、√a は多価関数であり、
一価な枝を取り出すには、定義域と地域を適切に制限しなければならないし、
それをどうやったか明示してから使わなければならない
ということが解るんですが…

高校での虚数の扱いは、二次方程式を解くだけですからね。

複素関数を知った立場では、実関数 √ と、複素多価関数 √ と、
その一価の枝 √ は、それぞれ別のものです。
√ が実関数 √ を表しているときには、√25 = 5 だし、
複素多価関数 √ を表しているときには、√25 = ±5 だし、
複素一価関数 √ を表しているときには、枝の取りかたによって
√25 = 5 か √25 = -5 かのどちらか一方です。

別のものを同じ記号で書くと混乱するので、記号を使う文脈のほうに、
そのつど、意味の説明を書いておかなければならないのです。

お礼

いつもご回答ありがとうございます。
理解しました。

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.7

bgm38489

２５の平方根は、±√２５＝±５。

ところが、√２５＝＋５。
これは、２５の平方根のうち、正の数を表す。

２５の平方根で負の数は、－√２５＝－５。

ただそれだけです。

虚数というのは、２乗してマイナスになる数ですから、関係ありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.6

tborn

こんにちは。

私も、人並み程度の知識しか無いので恐縮ですが・・・、

>>√（ルート）の定義は、『２乗してaになる数』のうち，【正の数のことを指す】

の理解で宜しいかと思います。
本来、【正の数のことを指す】のを明示するため
+√（ルート）
と記述すれば、より正確に意図が伝わるとは思いますが
一般的に「1」と書いてあった場合には「+1」を意図して記述されているのが
殆どだと思います。

今のところ、±が付くべき箇所で何も無い場合に+の符号が省略されて
いると解釈して数学等を勉強していますが特に支障はありません。

ご参考まで。

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.4

f272

> 高校数学以上でも、
> √（ルート）の定義は、『２乗してaになる数』のうち，【正の数のことを指す】
> なのでしょうか？

２乗して25になる数は２つあるがそのうち，正の数のことを√25と書きます。
２乗して-25になる数は２つあるがそのうちの一方ことを√(-25)と書き，もう一方を-√(-25)と書きます。２つの数のうちどちらを√(-25)とすべきかの決め手は何もありません。どちらでもよいのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.3

aries_1

√を外すと√の中身は必ず正になるというのは、定義として決まっています。
定義ですので、例外はありません。
現に、y=√xのグラフは、y≧0かつx≧0の範囲にしか存在しません。

ついでに、虚数は√の中身が負の数の時に使うものだったように記憶しています。
例:√(-25)=5i

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.2

asuncion

＞高校数学で虚数を学んだ後では、√25=±5は成り立たないのでしょうか？

虚数を学んでいようがいなかろうが、
√25は「2乗して25になる数のうち正の方だけ」を指します。

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.1

suko22

少しでももやもやが晴れるような直感的な理解を助けられるような説明をしてみます。
（小難しいことはここでは考えません。）

＞ここで25の2乗根（平方根）は±5です。
2乗して25になる実数は？ときいているので±5で合ってます。

＞高校数学で虚数を学んだ後では、√25=±5は成り立たないのでしょうか？
成り立ちません。√25は正の実数です。
ちなみに、√25＝5です。-√25＝-5です。

＞√（ルート）の定義は、『２乗してaになる数』のうち，【正の数のことを指す】
なのでしょうか？
その通りです。だから√25＝5です。

実数のイメージ（添付図を見てください）
実数は有理数と無理数からなります。
ざっくりいうと有理数は分数で表せるもの。無理数は分数で表せない数（＝循環しない無限小数）。
無理数の例は、π＝3.1415・・・　、√2＝1.414・・・

これらの実数はすべて数直線上で表せます。

ちなみに虚数は√-1＝iで定義される数のことです。
実数と虚数は全く違います。しかし、両辺を2乗すると-1＝i^2と実数になることから実数と虚数の間になんらかの法則性があることは推測できます。

√-5は上記の定義に従えば2乗して-5になる数のうち正の実数ということになりますが、そんな実数はありません。しかし虚数√-1＝iを定義すると、√-5＝√-1√5＝5iと表現できます。これは虚数と呼ばれるもので実数の数直線上では表せません。

どうですか？なにかのヒントになりましたでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございました。
図説までありがとうございます。理解できました