恒等式の定義

質問

a bを実数とする2次方程式ｘ＾２＋ax＋b＝０のひとつの解が、2＋３iであるとき、定数a,bと他の解をもとめよ

この問題で、解説には「他の解を ｐ＋ｑiとする」とかいていますが
なぜpだけでなく、iもいれて、複素数だと予想できるのですか

後、このばあい、ｐ＋ｑiを、解と係数の関係から、係数比較をしてもとめるらしいのですが、
係数比較をするということは、恒等式だということですよね？
なぜ作った式が恒等式だとわかるのですか。

恒等式になる定義とは一体なんなんですか

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

y=x^2+ax+b のグラフを考えてみます。
このグラフとx軸（つまりy=0）との交点の数が、
方程式 x^2+ax+b=0 の実数解の個数となります。
そのパターンは下記の3とおりです。
x軸との交点の数=2：実数解2個
x軸との交点の数=1：実数解2個（ただし重解）
x軸との交点の数=0：実数解0個、複素数解2個

今回の場合、1個の解が 2+3i という複素数（実数ではない）であることがわかっています。
ということは、方程式 x^2+ax+b=0 は実数解を持たず（当該のグラフはx軸との交点を持たない）、
既知の解である 2+3i を含めて2個の複素数解を持つことがわかります。

以上の議論においては、「n次方程式の解は、実数か複素数かはわからないが、必ずn個ある」ことを
前提としています。

回答No.2

Tacosan

まず「複素数と予想できる」のは「代数学の基本定理」から.

でなぜ「恒等式」なのかといえば, もちろん因数定理.