f(x)=0^x の定義域

質問

関数f(x)=0^x (ゼロのx乗)
の定義域はどこまでなら広げられるのでしょう. 妥当な範囲，また病理的であっても一応定義可能な範囲について，理由とともにお教えいただければ幸いです.
ちなみに, 予想は以下の通りです．
xが正の実数...f(x)=0でよさそう.
xが負の実数...f(x)=1/0^(-|x|)と思うと分母が０でまずそう．
x=0...「aが定数のとき, a^x:=1*(a^x)」 という要請(解釈)が可能ならば，f(0)=0^0=1*(0^0)=1
(1に0を1回も掛けないならば1)と定めて困らない(のでは)？
xが虚数．．．x=a+bi(a,b:実数;b≠0)とすると0^aは上のように定まったとしても，0^(bi)=0？1？ それとも．．．

回答No.1

Mell-Lily

参考HPです。

参考URL：

http://www.sf.airnet.ne.jp/tmt/

お礼

関数の連続性の視点からは 0^0=1 が自然というお話と読みました.
通常の 0!=1 の定義も，通常の2項係数などの一般性質からの要請という以外に ｎ!:=1・ｎ! と思うと, 1に数を1つも掛けない状態と考えると 0!=1・0！＝１と無理なく解釈することができるのではないかと思っているのですが，今回の「0^0=1」の予想もその線からのものです．
ただ，それで困ることがないのかは確信がもてなかったので，ご紹介いただいた話は非常に興味深く読めました．ありがとうございます．

補足

＞xが負の実数...f(x)=1/0^(-|x|)と思うと分母が０でまずそう．
書き間違いで, f(x)=1/0^(-x)[=1/0^(|x|)]が正しいですね. すみません.