実数の定義について

質問

実数の定義は、いろいろあるようですが、
"切断による定義" が理解できずにいます。

よく言われるのが、
" 有理数Qの切断を実数Rとする " というのがありますが、
そもそも有理数しかない集合を切断したところで、
なぜ実数が定義できるのか、よくわかりません。

これとは異なり、
" 有理数体における基本列（コーシー列）全体のなす集合を実数とする " というのは何となく理解できています。
（基本列の極限をとると無理数が生成される様子がイメージできる）

両者の定義は、数学的には同じということらしいですが、
とてもそうは見えません。

切断による実数の定義はどのようなイメージができれば
理解できますか？

回答No.3

fusem23 · ベストアンサー

実際に√２などでやってみたらどうですか？
具体的な有理数が、切断の右なのか左なのかが決定される様子が分かると思います。
そして、すべての有理数について切断の右にあるか左にあるかの答があれば、その実数が何なのか無限の精度で分かると思いませんか？

回答No.4

arrysthmia

コーシー列による定義が納得できるなら、
切断下組の中で、既約分母が n であるような有理数の最大値
n = 1, 2, 3, …　がなす数列を考えてみては、どうでしょう。

回答No.2

Tacosan

「切断」の「切れ目」のところをずんずん拡大していくと, その辺に「切断に対応する実数に収束するような有理数列」が見えてくるような気がする.

回答No.1

koko_u_u

切断による定義の方が直感的だと思いますけど。
その切断面そのものが実数だと考えるんですよね。

それに比べて、コーシー列による定義は「同値類」という集合を
実数と見ており、数学的な定式化のしやすさを優先しています。

>両者の定義は、数学的には同じということらしいですが、
>とてもそうは見えません。
「同じ」とはどういうことかを考えるよい機会です。