2次関数の問題です。 困っています。

質問

a.bを定数として、2次関数 y= -x^2 +（2a-6）x +ｂ...(1)
について考える。
関数(1)のグラフGの頂点が、y= -2x +2上にあるとする。
グラフGが、x軸の正の部分と異なる2点で交わるような aの範囲を求めよ。

なかなか答えが出ず、困っています。
宜しくお願い致します。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

y=-x^2+(2a-6)x+b
=-(x^2-(2a-6)x+(a-3)^2-(a-3)^2)+b
=-(x-(a-3))^2+(a-3)^2+b
より、頂点の座標は(a-3, (a-3)^2+b)
これがy=-2x+2の上にあるので、
(a-3)^2+b=-2(a-3)+2より、
b=(a-3)^2+2(a-3)-2=a^2-4a+1
y=-x^2+(2a-6)x+a^2-4a+1
y=0とおいた方程式-x^2+(2a-6)x+a^2-4a+1=0が
x軸の正の部分と異なる2点で交わることから、判別式D>0
-x^2+(2a-6)x+a^2-4a+1=0で、全体の符号を反転して
x^2-(2a-6)x-a^2+4a-1=0 …… (1)
xの1次の係数が2で割り切れるので、判別式D'を計算する
D'=(a-3)^2-(-a^2+4a-1)=2a^2-10a+10>0
a^2-5a+5>0
a^2-5a+5=0とおいて、
a={5±√(25-20)}/2=(5±√5)/2
a<(5-√5)/2, a>(5+√5)/2 …… (2)
(1)より、
x={a-3±√(2a^2-10a+10)}
条件より、xの小さい方の解>0
a-3-√(2a^2-10a+10)>0
a-3>√(2a^2-10a+10)
(a-3)^2>2a^2-10a+10
a^2-6a+9>2a^2-10a+10
a^2-4a+1<0
a^2-4a+1=0とおいて、
a=2±√(4-1)=2±√3
2-√3<a<2+√3 …… (3)
(3)の範囲で(2)の条件を満たすのは
2-√3<a<(5-√5)/2, (5+√5)/2<a<2+√3
か？わかりません。