二次関数

質問

a、bを定数とする。
y-x^2+2ax+a+bのグラフをCとしCは点(2、1)を通るとする。
このときCの頂点の座標をaを用いて表すと(-a、-a^2-4a-3)
Cの座標がy軸上にあるのはa=0のときであり
Cの頂点がx軸上にあるのはa-3、-1のときである。
xが2≦x5の範囲を変化するときyの最大値は
a＜コのとき サ
a≧コのとき シa+ス である。

Cがx軸の2≦x≦5の部分とただひとつの共有点を持つのは
a=セ または a＜ソ である。

コから分からないのです・・・
場合分けが苦手です
ご教授ください。

回答No.3

snowmist · ベストアンサー

この問題の場合分けは放物線の軸を考えます。
まず、今回の放物線は下に凸のグラフですので、最大値は
(1)x=2のとき、
(2)x=5のとき、
(3)x=2、x=5両方のとき
の３パターンに分けられます。

(3)の場合は、放物線の軸が2≦x≦5の範囲のど真ん中にくるときです。
このとき、x=2でも5の時でもyは同じ値をとります。

これを基準にして、軸を左右に動かします。
軸が左(マイナス方向)に動いた場合、x=5が最大値をとりますし、
軸が右(プラス方向)に動いた場合、x=2が最大値をとることになります。

要するに、今回『コ』を求めようと思ったら(3)の場合の軸を考えればいいわけです。
最大値(『サ』、『シ』、『ス』)はx=2と5をそれぞれCに代入したら出てきます。

また、『セ』は放物線がx軸と接する場合、要するに頂点がx軸上にあることから式が導けると思います。

『ソ』は2≦x≦5の間でyの値がプラスマイナス逆転すれば良いんです。
今回はx=2のときのyの値(1)が分かっていますので、x=5のときのyの値がマイナスをとるような場合を考えれば出てくると思います。

頑張ってください。

お礼

計算ミスでした。
分かりました。
ありがとうございました。

補足

セに関して、x軸と接するのでaは3と1ですよね。
ここから考えたらよいでしょうか。
とても分かりやすく回答して頂いているのですが、理解力不足で…。
是非回答下さい。

回答No.2

tenti1990

最近数学やってないのであっているかどうかわかりませんが…

下に凸な放物線なので
ｙが最大値をとるのはx=2のときかx=5のときかどちらかです。
よって
f(x)＝x^2+2ax+a+bとおいて
f(2)とf(5)の大小を比較すればコが求まります。
それでf(2)が大きいときとf(5)が大きいときの
それぞれの最大値を求めることでサシスが求まります。

ただひとつの共有点を持って答えが一つになるのは
接する時しかありえないのでセは代入するだけです。

ソはf(2)とf(5)がそれぞれｘ軸の上下にあればよいので
f(2)×f(5)＜０を求めればよいです。

間違ってたらごめんなさい
がんばってください

回答No.1

riddle09

＞y-x^2+2ax+a+bのグラフをCとし

ｙ＝ｘ＾2＋2ａｘ＋ａ＋ｂ　ではありませんか？

＞xが2≦x5の範囲を変化するとき

xが2≦x≦5の範囲を変化するとき、ではありませんか？
この場合、ａ＜-7/2　ならｘ＝2の時ｙは最大値1
ａ≧-7/2　ならｘ＝5の時ｙは最大値6ａ+22になりますが・・・