数学Iの二次関数

質問

数学Iの二次関数
y=-1/2x^2 + (b-4)x + a + 5/2 ・・・(1)
のグラフをGとする。
問題では書いてないのですが、グラフの頂点は書いておきます。
（b - 4 , 1/2(b-4)^2 + a + 5/2） です

「問題」
bにどのような値を代入しても、グラフGが常にx軸と2点で交わるようなaの条件は
a > p/q
この「p/q」を求める問題です。
模範解答を見たのですが、それでも分からなかったので質問しました。

以下模範解答です
*********************************************************
グラフGは上に凸であるから、このグラフが常にx軸と2点で交わる
のは、頂点のy座標が正となるとき、すなわち
1/2(b-4)^2 + a + 5/2 > 0
a > -1/2(b-4)^2 - 5/2
が、どのようなbに対しても成り立つときである。
よって、-1/2(b-4)^2 ≦ 0 であるから、求める
aの条件は
a > -5/2
である。
*********************************************************
上に凸のグラフだから、頂点が正になれば、絶対x軸と2点で交わるというのは分かります。
よって
1/2(b-4)^2 + a + 5/2 > 0
a > -1/2(b-4)^2 - 5/2
までは分かります。
しかし、なぜこれが
-1/2(b-4)^2 ≦ 0
となるのかが分かりません。

教えてください。

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

a > -1/2(b-4)^2 - 5/2
が、どのようなbに対しても成り立つときである。

ということは、右辺の式の最大値をMとすると、
a > M
となります。

右辺の式は、

-1/2(b-4)^2 ≦ 0 より、

M = -5/2

なので、

求める
aの条件は
a > -5/2
である。

お礼

皆さま回答ありがとうございました。

回答No.4

OKXavier

>しかし、なぜこれが
>-1/2(b-4)^2 ≦ 0
>となるのかが分かりません。

模範解答の表現が良くありませんね。

>a > -1/2(b-4)^2 - 5/2
>が、どのようなbに対しても成り立つときである。
>よって、-1/2(b-4)^2 ≦ 0 であるから、求める
>aの条件は
>a > -5/2

３行目の、「よって、」が良くないです。
あたかも２行目から導かれると誤解を与えるような表現に
なっていますが、
ここは、「ここで」とでもするべきところです。
つまり、

a > -1/2(b-4)^2 - 5/2

の式において、1/2(b-4)^2　の部分は非正だと言っているのです。
上式の右辺は、「上に凸の放物線で、最大が-5/2　である」という
意味のことを述べている筈です。
だから、a>-5/2　となる。

回答No.2

KEIS050162

質問者殿が理解している、下の式から順を追って考えて行きましょう。
「1/2(b-4)^2 + a + 5/2 > 0
a > -1/2(b-4)^2 - 5/2
までは分かります。」

a > -1/2(b-4)^2 - 5/2

右辺をｂの二次関数と考えれば、これも上に凸の関数ということが分かります。
あとは、二次関数の最大・最小の求め方が分かれば簡単です。

ａ＞右辺

なのですから、右辺の最も大きい値よりもａが大きければ、条件を満たす訳です。
従って、右辺の「ｂの二次関数の最大値はいくつか」を解けば良いのです。
既に平方完成出来ているので、あとは単純な計算だけですね。

平方完成の考え方を補足します。

右辺は、　－（　Ａ　）＾２　＋　Ｂ

の形になっており、先に述べた通り、これは上に凸の関数です。Ｂの部分は定数項ですから無視します。

－(Ａ）＾２　は　≦　０　であることは分かりますよね？　（二乗しているので常にＡ≧０）

なので、Ａ＝０　の時が右辺の二次関数の最大値となり、その値はＢとなります。

最初のｘの二次関数と、後半のｂの二次関数がごっちゃにならない様に、質問者殿が一旦理解した、ａとｂの関係から先を、ひたすら機械的に考えれば良いと思います。

回答No.1

NNori

この式をよく考えてみよう

-1/2(b-4)^2

(b-4)^2 は ｂが４のとき０で、それ以外では正になるよね？
つまり(b-4)^2 は、最小値が０となる

すなわち
-1/2(b-4)^2 ≦ 0

要するになんかの二乗の値域は、０以上になるっちゅうことですわ。