フーリエ級数展開について教えてください

質問

下記のフーリエ級数展開がよくわからなくて困っています。
sinなので奇関数の話となるかとも思うのですが、絶対値となると・・・？
また、積分範囲が-πからπではないところも悩んでいます。

おわかりのかた、数式もあわせ、解法をお教えいただきたいです。

u(t) = | A*sin(ωt) | （-T/2 ≦ t ≦ T/2）
（A*sin(ωt)は絶対値記号の中です）

・u(t+T) = u(t)
・ω= 2π/T
・Aは定数

よろしくお願いします m(_ _)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

（ωは入力が面倒なんでwで代用させてもらいます。）

u(t)は周期Tの周期関数なので
　u(t)=a0/2+Σ[n=1,∞] {an*cos(nwt)+bn*sin(nwt)}
とフーリエ級数に展開できる。
ここで
u(t)は偶関数なので
　bn=0(n=1,2,3, ...)
また偶関数であることから
0≦t≦T/2のとき、すなわち　0≦wt≦πのとき　u(t)=|A|sin(wt)≧0なので
　a0=(2/T)*2∫[0,T/2]|A|sin(wt)dt
　　=(4|A|/T)[-cos(wt)/w][0,T/2}
　　=(2|A|/π){1-cos(π)}
　　=4|A|/π
an(n=1,2,3, ...)は
n=1のとき
　an=(2/T)*2∫[0,T/2] |A|sin(wt)cos(wt)dt
　　=(2|A|/T)∫[0,T/2] sin(2wt)dt
　　=(2|A|/T)[-cos(2wt)/(2w)][0,T/2]
　　=(2|A|/(2wT))[1-cos(wT)]
　　=0 (∵wT=2π)
n≧2のとき
　an=(2/T)*2∫[0,T/2] |A|sin(wt)cos(nwt)dt
　　=(2|A|/T)∫[0,T/2]{sin((n+1)wt)-sin((n-1)wt)}dt
　　=(2|A|/T)[-cos((n+1)wt)/((n+1)w)+cos((n-1)wt)/((n-1)w)][0,T/2]
　　=(|A|/π)[{1-cos((n+1)π)}/(n+1) -{1-cos((n-1)π)}/(n-1)]
　　=(|A|/π)[{1-(-1)^(n+1)}/(n+1) -{1-(-1)^(n-1)}/(n-1)]
　　=(|A|/π)[{1-(-1)^(n+1)}/(n+1) -{1-(-1)^(n+1)}/(n-1)]
　　=(|A|/π)[{1/(n+1) -1/(n-1)}+{(-1)^n}{1/(n+1) -1/(n-1)}]
　　=(|A|/π)[-2/(n^2-1) -2{(-1)^n}/(n^2-1)]
　　=-(2|A|/π){1+(-1)^n}/(n^2-1)
n=偶数(≧2)のとき
　an=-4|A|/{π(n^2-1)}
n=奇数(≧3)のとき
　an=0

以上まとめると
　a0=4|A|/π,
　an=0(n=(1以上の奇数)), an=-4|A|/{π(n^2-1)}(n=(2以上の偶数))
　bn=0(n≧1)
となります。
従ってu(t)のフーリエ級数展開は次の通り。
　u(t)=2(|A|/π)-4(|A|/π)Σ[k=1,∞] cos(2kwt)/(4k^2-1)

(注）グラフに書くと　n　や　kの上限　を十分大きくとれば級数展開式のグラフと
|Asin(wt)|(wt=2π)のグラフが殆ど一致することが分かります。

お礼

大変詳しくお書きいただき、まことにありがとうございました！
お書きいただいた内容を大体把握できたと思いますので、これから自分の手でといて見ます。
またよろしくお願いします！

回答No.2

FT56F001

数学としては2πの区間を考えてθで積分しますが，
物理などに応用する場合，周期Tの区間で考えてtで積分することもあります。
θ=ωtで変数変換すれば，同じことです。

お礼

ありがとうございます。
変数変換は、「-T/2 ≦ t ≦ T/2」の各辺にωをかけて整理するという考え方でよいのでしょうか？

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

グラフを書けば偶関数だということがわかります。

お礼

ありがとうございました。