フーリエ級数展開について教えてください。

質問

フーリエ級数展開でAnやBnはf(t)にcosnωt、sinnωtをかけて積分すると求められるのはどうしてですか？

回答No.4

FT56F001

#1さんがおっしゃるように直交系だから，で#2さんの話を具体化してかいてみます。
f(t)=ΣAn*cos(nωt)+ΣBn*sin(nωt)
と書けると仮定します。これにcos(mωt)を掛けて一周期積分します。
∫[0からT]f(t)cos(mωt)dt=
ΣAn*∫cos(mωt)cos(nωt)dt+ΣBn*∫cos(mωt)sin(nωt)dt

さて，三角関数の積分には
∫[0から2π]cos(mθ)cos(nθ)dθ=2π(m=nのとき)
∫[0から2π]cos(mθ)cos(nθ)dθ=0(m≠nのとき)
∫[0から2π]sin(mθ)sin(nθ)dθ=2π(m=nのとき)
∫[0から2π]sin(mθ)sin(nθ)dθ=0(m≠nのとき)
∫[0から2π]sin(mθ)cos(nθ)dθ=0
の性質が成り立ちます。これを直交性と呼びます。

Σの中で残るのは，Am*∫[0から2π]cos(mθ)cos(mθ)dθ
の項だけで，他は0になって消えてしまいます。
ですから，
Am=(2/T)∫[0からT]f(t)cos(mωt)dt
と求めることができます。Bmについても同様です。

厳密には，Alice先生おっしゃる収束の話があるのですが，
数学を応用する立場ならそんなに気にしなくていいでしょう。

回答No.3

alice_44

展開後の式に cos nωt や sin nωt を掛けて
積分すれば An, Bn の値が判るのですが、
このとき大切なのが、
級数の収束が t について一様であることです。
これにより、級数を項ごてにバラして積分
してもよいことが保証されます。
各項の積分計算は、高校範囲でしょう。

回答No.2

rnakamra

f(t)にフーリエ級数展開の定義式を入れる。
そのうえでcosnωt,sinnωtとの積をとりそれぞれ積分してみる。
積→和の変換公式を使い計算すると簡単に計算できる。

回答No.1

Tacosan

直交系だから.