フーリエ級数展開と複素フーリエ級数展開の証明

質問

T=1,x(t)｛=1(-1/4<t<1/4)
　　　　　=0(-1/2<t<-1/4,1/4<t<1/2)
この周期関数をフーリエ級数展開すると
x1(t)=Σ_[=1,+∞]{4/nπsin(nπ/2)cos2nπt}

また、複素フーリエ級数展開すると
x2(t)=Σ_[n=-∞,+∞]2/nπsin(nπ/2)e^j2πnt

x1(t)=x2(t)が等しい事を証明する。

オイラーの公式を使って示せばいいと思うのですが、行き詰ってしまいなかなかうまく行きません。お手数ですが、出来れば証明をして頂けないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

nの項と(-n)の項をペアにして考えます。これらに現れる指数関数をオイラーの公式でsine, cosineに書き換えてみますと、

e^(j2πnt) = cos(2πnt)+j sin(2πnt)
e^(j2π(-n)t) = cos(2πnt)-j sin(2πnt)

両者を合体させると、

e^(j2πnt)+e^(j2π(-n)t) = 2cos(2πnt)

お礼

大変参考になりました！
nについて＋とーの両方を考えなければならなかったんですね！
納得できました。どうもありがとうございました。

回答No.1

N64

もともと同じ関数を別の方法で展開しただけですから、同じなのでは？
どうしても、個々にというなら、オイラーの公式を使うのでしょう。
詳しくは分かりませんが、以下のＨＰご参考になるかもしれません。

参考URL：

http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap3/index.htm