フーリエ級数展開。

質問

f(x)=0(-π≦x<π),x(0≦x<π）

これをフーリエ級数展開するとどうなるのでしょうか？
フーリエ級数展開した式が出ません・・・。

答えとしては
f(x)=π/4-(2/π)cosx+sinx-sin2x/2-(2/π)cos3x/3~2+sin3x/3-・・・

と解答にはありますが、一般系(?)で表記したいと考えています。
どのようにフーリエ級数展開すればいいのでしょうか？
お願いします。

回答No.4

keyguy · ベストアンサー

少し暇だったので枝葉をつけよう。

f(x)=0(-π≦x<0),x(0≦x<π）とする。
方法：
f(x)を2・πの周期関数の周期関数に拡張して
f(x)=a[0]+Σ(n:自然数)・(a[n]・cos(n・x)+b[n]・sin(n・x))
・・・(*)
とおける。
a[m](m=0,1,2,・・・)は(*)式両辺に
∫(-π<x<π)・dx・cos(m・x)を施せば求まり
b[m](m=1,2,・・・)は(*)式両辺に
∫(-π<x<π)・dx・sin(m・x)を施せば求まる。

フーリエ級数展開について公式を覚える人がいるが以上のようにすれば覚える必要は無いですからね。
この方法は周期がTの場合もすぐに応用が効くね。

注意しないといけないのは

(*)式左辺が不連続点を持つときにはその点x=aにおいて
f(a)を(f(a+0)+f(a-0))/2に置き換えなければなりません。
まーalmost every whereで等しいということですね。

お礼

回答ありがとうございました。

無事、an、bnを出して、フーリエ級数展開することができました。
ありがとうございました。

回答No.3

keyguy

f(x)=0(-π≦x<0),x(0≦x<π）の間違いでしょう

方法：
2・πの周期関数だから
f(x)=a[0]+Σ(n:自然数)・(a[n]・cos(n・x)+b[n]・sin(n・x))
とおける。
a[m](m=0,1,2,・・・)は
両辺に∫(-π<x<π)・dx・cos(m・x)を施せば求まり
b[m](m=1,2,・・・)は
両辺に∫(-π<x<π)・dx・sin(m・x)を施せば求まる。

回答No.2

KENZOU

このサイトでフーリエ級数で検索すればいろいろでてきますよ。さしずめ参考ＵＲＬを除かれてはいかがでしょうか。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=706419

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.1

noname#108554

f(x)=0(-π≦x<π),x(0≦x<π） は関数になっていませんね。
それは誤植だとしても、一般系とはなんですか？
一般フーリエ級数のことですか？
すると解答とは合わないなあ？？

どのようにと言われても公式に代入するだけなんですけど・・・

お礼

回答ありがとうございました。