ジッタを含むフーリエ級数展開

質問

ジッタを考慮すると正弦波が歪むと思うのですがその時のフーリエ級数展開があまりよくわかりません。
もう少し詳しく言うと、「f(t)=sinωt」は普通にフーリエ級数展開できると思うのですが（もちろんωにピーク）、
「f(t)=g(z)*sinωt」の時のフーリエ級数展開です。
私が最初に言ったジッタとはg(z)の事で、例えば１を平均、小さな分散σをもった正規分布などをモデルとしています。このフーリエ級数展開は変数tだけでなくzも考慮して二重フーリエしなくてはならにのでしょうか？
また、g(z)はｔに対してランダムに変化する（正規分布）のでｔだけで考えればいいと思うし、その方が楽なような気もするのですが・・・
ちょっと、自分でも訳のわからない説明になってしまいましたが、どなたかアドバイスの方お願いします。

回答No.6

keyguy · ベストアンサー

f(t)ではなくてf(t,z)です。:

ということであれば

u(t,z)=g(t,z)・sin(2・π・f0・t)とすると
u(t,z)のフーリエ変換は簡単にできて
g(t,z)のフーリエ変換をG(f,z)すなわち
G(f,z)=∫(-∞<t<∞)・g(t,z)・exp(-j・2・π・f・t)・dt
とするとu(t,z)のフーリエ変換をU(f,z)は
U(f,z)=(G(f-f0,z)-G(f+f0,z))/j/2
です。

回答No.7

fluffy

結局目的がはっきりしてないので駄目です。
解析するにしてももう少し内容を固めてほしいです。

f(t)=g(z(t))*sinωtと考えるのか、どうか。
正規分布を持ったというのは振幅が揺れるという意味ですが、こんなのそれこそ状況によってはフーリエ変換して周波数空間でフィルタリングして戻したら消えちゃうようなものかもしれないし。
結局ｚは何ですか？パラメーターとして何を想定していますか？位置ですか？モデルが分からないのでどうにも。
予想ですが、ｚをパラメータにしてわざわざ計算をする必要は無いと思いますよ。
すくなくとも今の段階でｚが何を想定しているのか分からないことには。ｚをパラメーターにする・・・と書いてあって結局ｚは何かを考えないようにしているような。
ノイズなら、中心周波数を決めて、それに対して正規分布するような周波数分布をする波形が加算されるようなことを考えているような気がするので、サイン波をフーリエ変換して周波数領域に持って行った後に足し込んであげてください。
それでは納得いかないですか？

回答No.5

FM-8

#2です．

間違ってましたか．すみません．
「ジッタ」という言葉があったもので，実際の波形を解析しようとしていると勘違いしてました．

みなさんご指摘のとおり,
フーリエ変換自体は,ラプラス変換と兄弟のようなもので,
周期関数だけを解析する手法ではありませんね.
周波数領域やラプラス空間では微分がsの掛け算(×)になるので,微積分の解析のところではよく使う解析的な手法に分類できます.

先のNo2の回答は,FFT(高速フーリエ変換)のような,工業系の現場でのジッタ(変動成分)をとるにはどうしたらいいのかという話とご理解ください.
ノイズのようなものを想像すると,そのようなものは,通常周期が短く,時間領域では,暴れていても,周波数領域では主成分の関数と分離できる場合があります.
たとえば,「1MHz以上はノイズ」としてしまって,FFT(離散高速フーリエ変換のことです.紛らわしいですが.)してノイズと思われるものを除去してから,逆FFTをかけます.
このていどなら,回路的にローパスフィルタや,バンドパスフィルタをつかってもいいのですが,より非線形なフィルタをかけたい場合もありますので,数値的に扱います.

式だけではなく,
数学的な問題を解こうとしているのか,技術課題を解決しようとしているのかをもう少しご説明いただくとより的確なアドバイスが得られると思います.たとえば,g(z)のzというのはなんでしょうか.

補足

度々の回答ありがとうございます。
すいません、説明不足で。

No.#1さんに補足した内容を引用します。

zは統計の正規分布（下の式）の変数です。
ｇ(ｚ) = 1/{σ√(2π)}*exp{-(ｚ-μ)^2/σ^2}
ちなみに、uは平均、 σ^2は分散です。

＞でここで言っているｚはなにをしめしているのか分かりませんがｚもパラメトリックに与えられるのであればf（t,z）として処理するべきだと思います

はい。f(t)ではなくてf(t,z)です。g(z)はｚを変数とする正規分布で、時間的に見るとランダムです。
やはり最初に質問したように二重フーリエへんかんするしかないのでしょうか？

以上のように補足したのですが、今考えてみるとzとtは相関ないかもしれませんが、ｆ(z)とtは周期的に相関あるような気がしてきています。もうちょっと自分でこの辺も考えてみたいと思っています。何か上で言っている事（tとzは相関なし、f(z)とtは相関ある）も矛盾しているようでわけが解からなくなっています・・・

回答No.4

keyguy

dtが抜けていました。珍しく直します。
なおｊが虚数単位であることを宣言します。

周期関数を扱うのがフーリエ級数であり
周期関数はよっぽどのことが無い限りフーリエ級数展開できます。
非周期関数及び周期関数を扱うのがフーリエ変換であり
非周期関数及び周期関数はよっぽどのことが無い限りフーリエ変換できます。

u(t)=g(t)・sin(2・π・f0・t)は一般には非周期関数なのでフーリエ変換で解析すべきです。
u(t)のフーリエ変換は簡単にできて

g(t)のフーリエ変換をG(f)すなわち
G(f)=∫(-∞<t<∞)・g(t)・exp(-j・2・π・f・t)・dt
とすると
U(f)=(G(f-f0)-G(f+f0))/j/2
です。

ちなみにsin(2・π・f0・t)のフーリエ変換は
(δ(f-f0)-δ(f+f0))/j/2
です。

なおフーリエ変換を使えるようになるためには超関数を知っていなければなりません。

補足

回答ありがとうございました。
もうすこし質問させて下さい。

＞u(t)=g(t)・sin(2・π・f0・t)

g(t)ではなくｇ(z)なのですが。

No.#1さんに補足した内容を引用します。

zは統計の正規分布（下の式）の変数です。
ｇ(ｚ) = 1/{σ√(2π)}*exp{-(ｚ-μ)^2/σ^2}
ちなみに、uは平均、 σ^2は分散です。

＞でここで言っているｚはなにをしめしているのか分かりませんがｚもパラメトリックに与えられるのであればf（t,z）として処理するべきだと思います

はい。f(t)ではなくてf(t,z)です。g(z)はｚを変数とする正規分布で、時間的に見るとランダムです。
やはり最初に質問したように二重フーリエへんかんするしかないのでしょうか？

以上のように補足したのですが、今考えてみるとzとtは相関ないかもしれませんが、ｆ(z)とtは周期的に相関あるような気がしてきています。もうちょっと自分でこの辺も考えてみたいと思っています。何か上で言っている事（tとzは相関なし、f(z)とtは相関ある）も矛盾しているようでわけが解からなくなっています・・・

回答No.3

keyguy

ちょっとNo.2で言い間違いがあるようです。

周期関数を扱うのがフーリエ級数であり
周期関数はよっぽどのことが無い限りフーリエ級数展開できます。
非周期関数及び周期関数を扱うのがフーリエ変換であり
非周期関数及び周期関数はよっぽどのことが無い限りフーリエ変換できます。

u(t)=g(t)・sin(2・π・f0・t)は一般には非周期関数なのでフーリエ変換で解析すべきです。
u(t)のフーリエ変換は簡単にできて

g(t)のフーリエ変換をG(f)すなわち
G(f)=∫(-∞<t<∞)・g(t)・exp(-j・2・π・f・t)
とすると
U(f)=(G(f-f0)-G(f+f0))/j/2
である。

ちなみにsin(2・π・f0・t)のフーリエ変換は
(δ(f-f0)-δ(f+f0))/j/2

なおフーリエ変換を使えるようになるためには超関数を知っていなければなりません。

回答No.2

FM-8

#1様もご指摘の通りですが，
フーリエ変換は，周期性を持ったものを分析する道具です．
よって，ジッタの原因が周期性を持っていなければ，
あまり有益ではないですね．

例えば，ギアが製作時に誤差を持っている場合には，
ギアの1回転周期でジッタがでます．
また，ギアの波面がおかしい場合には，一歯の周期でジッタとなります．

これに対して，たとえば，衝撃的な力が一発だけ
はいったような波形をフーリエ変換したとしても，
意味のある分析は困難でしょう．
それよりも，時間領域で，どの時刻に衝撃が入ったかを調べる方がよほど意味があります．

補足

回答ありがとうございました。
もう少し質問させて下さい。

＞フーリエ変換は，周期性を持ったものを分析する道具です．

一般的な波形は周期性を持たないので、周期Tを無限大と考えて連続時間フーリエ変換すると教科書などに書いてあるのですが・・・

＞よって，ジッタの原因が周期性を持っていなければ，
あまり有益ではないですね．

ジッタのモデルとして確かに周期性をかんがえていません。でも、例えジッタが周期性でなくても（ランダムでも）noise floorが上がりS/N比が悪くなると思うので重要だとおもうのですが。また、ジッタは正規分布モデルとして式で表しているのでフーリエ変換できるような気がします。
noise floorが上がるって結果が解かっているならフーリエ変換する必要ないじゃん、と思われるかもしれませんが実際に式で確認したいし、その式からジッタをなくす事意外でnoiseを抑える対策が考えられるかもしれないと思ったからです。

長文になってすいませんでした。

回答No.1

fluffy

素人の戯言レベルでお聞きください

ジッタ成分が本当にランダムであればそもそも級数展開ができないように思います。
でここで言っているｚはなにをしめしているのか分かりませんがｚもパラメトリックに与えられるのであればf（t,z）として処理するべきだと思いますし、そうでないならg(z)は展開する必要のない（できない）係数となると思います。
疑似ランダムなどを使用して波形を発生させるなどと考える場合にはジッタ成分の生成にはｔの要素が入ってきますのでg(t,z)（ｚはよくわかりません）などとされます。

zが何を示していて何をしたいのかによって考え方は変えられそうです。

補足

回答ありがとうございます。
すいません、説明不足で。
zは統計の正規分布（下の式）の変数です。
ｇ(ｚ) = 1/{σ√(2π)}*exp{-(ｚ-μ)^2/σ^2}
ちなみに、uは平均、 σ^2は分散です。

＞でここで言っているｚはなにをしめしているのか分かりませんがｚもパラメトリックに与えられるのであればf（t,z）として処理するべきだと思います

はい。f(t)ではなくてf(t,z)です。g(z)はｚを変数とする正規分布で、時間的に見るとランダムです。
やはり最初に質問したように二重フーリエへんかんするしかないのでしょうか？