フーリエ級数の基礎

質問

フーリエ級数はそのグラフが奇関数ならフーリエ正弦級数、偶関数ならフーリエ余弦級数に展開できますよね？
そこでf(x)=x（0<x<π）を満たす各ｘについて
f(x)=2Σ(k=0～∞){(-1)^k-1/k}sinkx
が成り立つことを証明せよって問題なんですが、
証明する式って言うのは正弦級数展開と同じですよね？
でも、奇関数ではないのにこのように展開できるのはなぜですか？
あと、これをフーリエ級数に展開するっていうのは
↑の正弦級数と余弦級数を単に足せばいいんですか？
いまいちわかっていないので解説おねがいします。

回答No.3

uyama33 · ベストアンサー

f(x)=2Σ(k=0～∞){(-1)^k-1/k}sinkx
この関数は、定義域が、実数全体です。
この実数全体で定義された関数の一部分
すなわち、（0<x<π）
に制限した部分が
f(x)=x（0<x<π）
のグラフと一致している。

ということです。

また、
f(x)=x（0<x<π）
は、
（場合１）
関数f(x)=x（－π<x<π）
の一部と見ることも出来るし、

あるいは、
（場合２）
f(x)=－x（－π<x<０）
f(0)=0
f(x)=x（０<x<π）

の一部と見ることも出来る。

　従って、それぞれ周期的に拡張して考えることにすれば、
奇関数をフーリエ展開したものを（区間０<x<π）
で考えたものとして等式の成立を主張することも出来るし、

偶感数をフーリエ展開したものを区間０<x<π
で考えたものとして、別の等式の成立を主張する
こともできます。

したがって、
１．関数を拡張する。
２．拡張の仕方で偶関数にも、奇関数にもなる
３．それぞれの場合でフーリエ展開する。
４．定義域を制限してその区間で等しいと主張する

となります。
追加が必要なら言ってください。

お礼

ありがとうございます。
区間が小さければ偶関数にも奇関数にもなりうるってことですね。
丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.2

proto

-π<x<0の範囲でのf(x)が指定されてないでしょうか
f(x)を奇関数として展開するのなら
　　f(x)=x (-π<x<π)
と同じですし

f(x)を偶関数として展開するのなら
　　f(x)=-x (-π<x<0),x (0<=x<π)
と同じです

どちらの場合でも奇関数と偶関数の積分の公式が使えます

f(x)が奇関数ならば
∫[-a,a]f(x)dx=0
f(x)が偶関数ならば
∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx

補足

0<x<πしか指定されていません。

＞どちらの場合でも奇関数と偶関数の積分の公式が使えます
＞f(x)が奇関数ならば
＞∫[-a,a]f(x)dx=0
＞f(x)が偶関数ならば
＞∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx
はい。それは高校で習ってるので十分わかっております。
僕が聞きたいのは奇関数でない与式がなぜフーリエ正弦級数に展開できるのかってことなんです・・・。
それとも問題自体がおかしいんですかねぇ・・・？
よろしくおねがいします。

回答No.1

adinat

f(x)=x (-π<x<π）
ならどうですか？フーリエ正弦級数展開できますよね、奇関数だから。
これを0<x<πに制限して考えればいいんです。

補足

回答ありがとうございます。
制限するとはどういうことかいまいちわかりません・・・。
積分区間をO～πにすることでしょうか？？（1/πにして）
でもそれなら求めたい式の半分の値になってしまうし・・・
もう少しヒントください。