フーリエ級数でノコギリ波をあらわすのですが

質問

いつもお世話になっております。中学生です。
何時間も計算しているのですが添付にあります式に
たどり着きません（解法は載っていない本です）。
唐突ではありますが、関数f(t)をフーリエ級数であらわしたとき、
f(t)=A[0]+Σ[n=1～∞] { A[n]*(cos(nωt)+ B[n]*sin(nωt) }
と書けるとして、自分は係数を求めようとしました（当然）。
A[0]とA[n]は零になったので、あとはf(t)にsin(nωt)を掛けて
周期で(-T/2～T/2で)積分しようとしました。
f(t)は、図から試しにf(t)=tとして行い、部分積分して
最後に2/Tを掛け、他T=2π/ωなどを駆使して導けると思ったのですが、どうしても添付にあります式にたどり着きません。
そもそも添付のグラフに縦軸の値がないのですが、f(t)=tが
間違っているのでしょうか。
当てになりませんが、
斜め線の範囲がTと書いてあるので、積分区間を(-T/2～T/2)としました。

考え方や、計算の仕方に間違いがありましたらわかる方、ご指摘
願いたいと思います。積分の演算やフーリエ級数の導き方はなんとか
分かっているので、遠慮のない回答をお願い致します。
よろしくお願い致します。

回答No.3

sinisorsa · ベストアンサー

グラフの最大値を１、最小値を－１と仮定してみると、ｔ＝－Ｔ／２でｆ（ｔ）＝－１、ｔ＝Ｔ／２でｆ（ｔ）＝１となります。
そこで、区間［－Ｔ／２，Ｔ／２］において　ｆ（ｔ）＝２ｔ／Ｔ
となります。
この仮定をすると、結果が合います。
目盛が書いていないグラフは困ったものですね。

お礼

お～確かに落ち着いて考えればそうでした。
恥ずかしいです。
とてもよく分かりました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

sinisorsa

先ほどのコメントはご存知の内容だったようですね。
f(t)＝２t／Ｔとおいて、
Ｂ[n]＝(sin nωt－ｎπcos nπ）・２／(（nπ）の２乗)
までは出ましたか。

補足

回答ありがとうございます。早速ですが、
なぜf(t)がそのようになるのか教えていただけませんか。

回答No.1

sinisorsa

式中のωと周期Ｔの間にωＴ＝２πの関係があります。
ωは角周波数を表します。これは、周波数をｆとするとき
ω＝２πｆとなります。また周期Ｔと周波数ｆの間には
ｆ＝１／Ｔの関係があります（これは定義です）
ωＴ＝２πを使って式を整理すれば、出てくると思います。
なお、波形の振幅は１になっているようです。