数II 指数関数 式の値

質問

2＾[ｘ]+2＾[-ｘ]＝3のとき、次の式の値を求めよ。ただし、ｘ＞0とする。

（1）2＾[2ｘ]+2＾[-2ｘ]

（2）2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]

（3）2＾ｘ

（4）ｘ

自分で計算したら、
（1）　1
（2）　-1
（3）　1

（4）がわかりません。もし、私が計算した（1）～（3）が間違っていたら指摘をお願いします。

[　　]内は乗としています。

回答No.5

info22_

2^x +2^(-x)=3 (x>0) ...(A)

(3)
(A)に 2^xを掛けて
(2^x)^2-3(2^x)+1=0
2^x=(3±√5)/2 (>0) ...(B)
なので質問者さんの答えは間違っている。

(4)
(B)より
対数の底2を[2]で表すと
x=log[2]{(3±√5)/2}=log[2](3±√5) -1

(1)
2^(2x) +2^(-2x)=(2^x+2^(-x))^2 -2=3-2=1
なので質問者さんの答えは合ってる。

(2)
(B)より
2^(-x)=(3-(±√5))/2
2^(x) -2^(-x)=(3±√5)/2 -(3-(±√5))/2
=±√5　（複合同順）
なので質問者さんの答えは間違っている。

回答No.4

alice_44

(3) を原式へ代入してみれば、1 + 1/1 ≠ 3 で
間違っていることが判る。 検算は大切だよ。

回答No.3

ferien

＞2＾[ｘ]+2＾[-ｘ]＝3　……（ア）のとき、次の式の値を求めよ。ただし、ｘ＞0とする。

＞（1）2＾[2ｘ]+2＾[-2ｘ]
＝（２^x）^2＋｛２^(-x)｝^2
＝｛２^x＋２^(-x)｝^2－２×｛２^x・２^(-x)｝　
２^x・２^(-x)＝２^(x-x)＝２^0＝１だから、
＝３^2－２×１
＝７

＞（2）2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]
｛２^x－２^(-x)｝^2
＝（２^x）^2＋｛２^(-x)｝^2－２×｛２^x・２^(-x)｝
＝７－２×１
＝５　
ｘ＞０より、２^x－２^(-x)＞０だから、
２^x－２^(-x)＝√５

＞（3）2＾ｘ
（ア）＋（２）より、
２・２^x＝３＋√５
よって、２^x＝(1/2)（３＋√５）

＞（4）ｘ
（３）より、底を２として両辺の対数をとると、
log「2」２^x＝log「2」(1/2)（３＋√５）
ｘ＝log[2]２^(-1)＋log[2]（３＋√５）
よって、ｘ＝log[2]（３＋√５）－１

のようになりましたが、どうでしょうか？

回答No.2

gohtraw

（１）
2＾[ｘ]+2＾[-ｘ]＝3　の両辺を二乗して
２＾２ｘ＋２（２＾２ｘ）（２＾（－２ｘ））＋２＾（－２ｘ）＝９
２（２＾２ｘ）（２＾（－２ｘ））＝２（２＾ｘ）（１／２＾ｘ）＝２なので
２＾２ｘ＋２＾（－２ｘ）＝７
（２）
2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]　を二乗すると
２＾２ｘ－２（２＾ｘ）（２＾（－ｘ））＋２＾（－２ｘ）
　　　＝（２＾ｘ＋２＾（－ｘ））＾２ー４（２＾ｘ）（２＾（－ｘ））
　　　＝９－４
　　　＝５
よって2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]＝±√５ですが、ｘ＞０より2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]＞０でなくてはならないので
2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]＝√５
（３）
2＾[ｘ]+2＾[-ｘ]＝3　と2＾[ｘ]-2＾[-ｘ]＝√５　を辺々加えると
２＊２＾ｘ＝３＋√５
よって
２＾ｘ＝（３＋√５）／２
（４）
（３）の結果より
ｘ＝ｌｏｇ（３＋√５）／２）

回答No.1

Trick--o--

どういう計算をしたのでしょう。

使える道具がわからないのですが、
（１）は７になると思います。

2^x = X とおくと
問題の式は
X + 1/X = 3
X^2 - 3X + 1 = 0
になるので、解の公式で
X = 2^x の値が求まる。

とやるかと思いましたがもっと簡単な方法もあるかもしれません。