指数関数

質問

指数関数の問題です。
√x + 1/√x = 3のとき次の式の値を求めよ。

x^3/2 + x^-3/2

√x + 1/√x = 3の両辺を2乗し、

x + x^-1 = 7というところまでやってみたのですが
それからどうすればいいのかが分かりません。
答えは18になるようなのですが・・・
解き方分かる方は教えてください。回答よろしくお願いします。

回答No.4

ccyuki · ベストアンサー

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b~2)
という因数分解の公式覚えていますか？
これを使って
x^3/2 + x^-3/2=(x^1/2)^3+(x^-1/2)^3
=(x^1/2+x^-1/2){(x^1/2)^2-x^1/2・x^-1/2+(x^-1/2)^2}
=(x^1/2+x^-1/2)(x-1+x^-1)
√x + 1/√x = x^1/2+x^-1/2=3，x + x^-1 = 7だから
x^3/2 + x^-3/2=3×(7-1)=18

回答No.3

noname#231526

x + (1/x) = a の時、
x^2 + (1/x)^2 = a^2 - 2x(1/x) = a^2 - 2
x^3 + (1/x)^3 = a^3 - 3x - 3(1/x) = a^3 - 3a
になることはおわかりですよね？

√x + 1/√x = 3　この問題の時は、y = √x　と置き換えてしまえば分かりやすくなります。
y + (1/y) = 3 ですね。
求める式は
x^(3/2) + x^(-3/2) = y^3 + (1/y)^3 ですから、もうあとは簡単ですね。

回答No.2

noname#21330

書き間違い
x(3/2)+x^(-3/2)+x^(-1/2)+(x/2)=21
　　　　　　　↓

x(3/2)+x^(-3/2)+x^(-1/2)+x^(1/2)=21

x^(-1/2)+x^(1/2)は1/√x +　√xのことだからね。

回答No.1

noname#21330

x + x^-1 = 7の両辺に
√x + 1/√x = 3をかけます。

x(3/2)+x^(-3/2)+x^(-1/2)+(x/2)=21
x(3/2)+x^(-3/2)+3=21