円と直線の問題です。

質問

答えが上手く出せなくて困っています。宜しくお願い致します。

問題
円（x-2）^2+（y-2）^2 =1...(1)
直線 y=ax+1...(2)
(1)、(2)は、異なる2点で交わる。
-4/3< a < 0 のとき、2つの交点座標をaを用いて表せ。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞0 <a< 4/3 です。
了解しました。

円（x-2）^2+（y-2）^2 =1...(1)
直線 y=ax+1...(2)
(1)、(2)は、異なる2点で交わる。
＞2つの交点座標をaを用いて表せ。
（２）を（１）へ代入して、
（ｘ－２）^2＋（ａｘ＋１－２）^2＝１
ｘ^2－４ｘ＋４＋ａ^2－２ａｘ＋１－１＝０
（ａ^2＋１）ｘ^2－２（ａ＋２）ｘ＋４＝０　……（３）
判別式Ｄ／４＝（ａ＋２）^2－４（ａ^2＋１）
　　　　　　＝ａ^2＋４ａ＋４－４ａ^2－４
　　　　　　＝－３ａ^2＋４ａ＞０より、
ａ（３ａ－４）＜０より、０＜ａ＜４／３
（３）から、解の公式より（√　の中はＤ／４）　
ｘ＝｛（ａ＋２）±√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）　
（２）へ代入して、　
ｙ＝ａ｛（ａ＋２）±√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）＋１
　＝ａ^2＋ａ±ａ√ａ（４－３ａ）｝＋（ａ^2＋１）／（ａ^2＋１）
　＝（２ａ^2＋２ａ＋１）±ａ√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）
よって、２つの交点の座標は、
ｘ＝｛（ａ＋２）+√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）
ｙ＝（２ａ^2＋２ａ＋１）+ａ√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）
と
ｘ＝｛（ａ＋２）－√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）
ｙ＝（２ａ^2＋２ａ＋１）－ａ√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）

でどうでしょうか？

解の公式は、ａｘ^2＋２ｂｘ＋ｃ＝０に対する
ｘ＝｛－ｂ±√（ｂ^2－ａｃ）｝／ａ
を使うと計算が少し楽です。

回答No.4

ferien

ANo.3です。少し訂正があります。

（２）へ代入して、　
ｙ＝ａ｛（ａ＋２）±√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）＋１
　＝｛ａ^2＋２ａ±ａ√ａ（４－３ａ）｝＋（ａ^2＋１）／（ａ^2＋１）
　＝｛（２ａ^2＋２ａ＋１）±ａ√ａ（４－３ａ）｝／（ａ^2＋１）

でお願いします。

回答No.2

yyssaa

円（x-2）^2+（y-2）^2 =1は点(2,2)を中心とする半径1の円。
y=ax+1は点(0,1)を通る直線。
a < 0では、この二つは交わらないでしょ？

回答No.1

ferien

円（x-2）^2+（y-2）^2 =1...(1)
直線 y=ax+1...(2)
(1)、(2)は、異なる2点で交わる。
＞-4/3< a < 0 のとき、2つの交点座標をaを用いて表せ。
ａがこの範囲では、異なる２点で交わらないと思います。
（２）を（１）へ代入して、ｘの２次方程式を作り、
それについての判別式から求められる異なる２点で交わる条件は、
０＜ａ＜４／３です。
問題に間違いはないでしょうか？

補足

すいません間違いました。
0 <a< 4/3 です。宜しくお願い致します。