数学「点と直線」の問題が分かりません。

質問

(1)直線y=－2x+1上の点で、２点（２，４）、（６，０）から等距離にあるものの座標を求めてください。

(2)直線 L：y=2xに関して、点A（４，３）と対称な点Pの座標を求めてください。

ちなみに答えは、(1)(－1、1)
(2)(0、5)
です。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

いろいろな解き方があると思いますが…。

設問1
質問者さんが書かれた(-1,1)って、そもそも、y=-2x+1上にないですよね。

求める点をP(a,-2a+1)とする。このとき、
点Pと(2,4)との距離の2乗
=(a-2)^2+(-2a-3)^2
=5a^2+8a+16 …… (1)
点Pと(6,0)との距離の2乗
=(a-6)^2+(-2a+1)^2
=5a^2-16a+40 …… (2)
(1)と(2)は等しいので、
8a+16=-16a+40
24a=24
a=1
y座標=-1
∴P(1,-1)

設問2
直線Lと線分APは直交するので、線分APの傾き=-1/2
この直線は点Aを通るので、APの方程式は
y-3=-1/2(x-4)より
y=-x/2+5 …… (1)
よって、点P(a,-a/2+5)とおける。
直線Lと(1)との交点の座標は、2x=-x/2+5より、x=2,y=4
点Aと(2,4)との距離の2乗=(4-2)^2+(3-4)^2=5
点Pと(2,4)との距離の2乗=(a-2)^2+(-a/2+5-4)^2=5a^2/4-5a+5
両者は等しいので、
5a^2/4-5a=0
5a^2-20a=0
a^2-4a=0
a(a-4)=0
a=0,4
a=4は点Aのことなので、a=0
∴点P(0,5)
かな？

お礼

打ち間違えてしまいました。すみません。
助かりました。ありがとうございます。

回答No.4

aries_1

P(p、q)、l:y=2xとおく
直線PQ⊥lよりPQの傾き×lの傾き=-1…(1)
PQの中点((p+4)/2、(q+3)/2)がl上にあるのでlの式に代入…(2)
(1)(2)を連立方程式で解く

回答No.2

aries_1

(1)求める点を(t、-2t+1)とおく。点(2、4)との距離は√(t-2)`2+{(-2t+1)-4}`2=√5t`2+8t+13
点(6、0)との距離は√(t-6)`2+(-2t+1)`2=√5t`2-16t+37
これが等しいので5t`2+8t+13=5t`2-16t+37よってt=1
故に(1、-1)

回答No.1

nananotanu

２点（２，４）、（６，０）から等距離にあるものは何になります？それを方程式にして、y=－2x+1と連立させればいい。

対称な点Pの座標
　対象＝その直線に対し、2点を結ぶと垂直＝傾きが２と90度異なる直線の式