２つの円の交点を通る直線の方程式

質問

２つの円の交点を通る直線の方程式は、２つの円の方程式を各辺で引けば求められると習いました。

僕自身円が苦手なので想像しにくく、まだよくこの感覚を掴めてはいないのですが、、

２つの直線ｙ＝４ｘ＋１０とｙ＝３ｘ＋５があり、この直線が交わる点の座標は
｛ｙ＝４ｘ＋１０
｛ｙ＝３ｘ＋５　　　　　　　として
交わるためにｙが等しいから　４ｘ＋１０＝３ｘ＋５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝－５
　　　　　代入して　ｙ＝－１０

と求めているのですが、２つの円の交点を通る直線の方程式の求め方も、根本的にはこれと同じだと考えてよろしいでしょうか？

ご回答お待ちしております。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞２つの円の交点を通る直線の方程式の求め方も、
＞根本的にはこれと同じだと考えてよろしいでしょうか？
そうですね。
交点や交点を通る式（交点のx座標とy座標が満たす関係式）を求める時は、
２つの式のx,yは2つの式の交点の座標(x,y)である考えて下さい。
交点の座標であるから、連立にして解けますし、円の交点の２つの交点を通る式にもなっているわけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ほうほう、そうですね。
２次関数は数学の全分野中でもよく分かっている方だとは思っているのですが、定期的に「あれ？これってどういうこと？」という疑問が出てきてしまいます（笑）
しかし、これが面白いところだと個人的には思っております。
さすがに、テスト中に「あれ？」と迷い込んだのは困ったものでしたが…^^；
よく分かりました。
簡潔なご回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#58425

2つの図形の共有点(交点)を求める作業は，2つの図形の方程式の共通解，つまり，2つの方程式を連立させた時の解を求めること(連立方程式を解くこと)と同じであるというのはわかっていますね。ある方程式が座標平面上において表す図形は，その方程式を満たす(x，y)の点の集合なのです。つまり，その図形上のどの点をとっても，その方程式は満たされるということです。ですから，2つの図形の共有点は，2つの方程式の共通解の座標であるということになります。
ご質問の公式については：
2つの円の方程式を，それぞれ，
x^2+y^2+ax+by+c=0……(1)
x^2+y^2+px+qy+r=0……(2)
とおく。(1)(2)の共有点の座標は(1)(2)を連立したときの解と同じである。(1)-(2)を考えて，(1)(2)の共有点は，次のような式を満たす。
(a-p)x+(b-q)y+(c-r)=0……(3)
2つの円の共有点が2点ある場合，その2点ともが(3)の式を満たす。(＊)よって，題意の直線は(3)に他ならない。
という感じで証明されます。(＊)の部分を厳密に証明しようとすると，
「(3)は直線であり，通る2点が決まれば直線も一つに決まること」
に言及する必要があります。この内容を理解できれば非常に良いのですが，無理に理解しようとするとかえって混乱してしまいます。かならずしも理解しておく必要もありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
あぁ、なるほど！
２つの円が交わって共有点をもつ。
各辺を引いた式は１次方程式になる。
その方程式は共有点を通り、かつその２点を結ぶ直線である。
ということですよね。。
うーむ。今回質問させていただいて、まだ全然勉強できていないなという気がしました。
円は、xもyも２次なので、ちょっと頭が混乱してしまうんです。
座標は得意だと思って円のあたりの範囲をサボったせいですね汗
大変分かりやすく説明してくださりありがとうございました。
精進するようにします。

回答No.2

noname#46689

細かいことは割愛。

二つの円（別に円じゃなくても良い）の方程式がF（x,y）＝０と
G（x,y）＝０　と書けるのは分かる？　とするとFとGの交点（α、β）を通る円の方程式は　

　　　　F（x,y）　＋ｋ×G（x,y）　＝０　　　…＃　（kは実数）

と書ける。これが感覚的に分かります？　ｋが実数なんて言うのは後から納得すれば良い。とにかくｋにいろんな数字を代入すると
交点（α、β）を通るいろんな円を表せる。ちなみに＃の円のうち原点(0,0）を通る円の方程式は＃に（0,0）代入してからｋを求めて、あらためてｋの値を＃に入れれば求まるよ。（質問者さんの問題で必ずやってみること！）

と言うことで＃は交点（α、β）を通る円の方程式を表しているんです。さてここで　ｋ＝ー１を代入。あら不思議。＃から二次の項が消えちゃうよ。と言うことは交点を通る直線が求まると言うこと。

最初に言ったようにこの説明は厳密さは目をつぶった。ただこの考え方、いろんな問題を考えるうえで、大変便利。厳密な証明は後でゆっくり考えればよい（あたしゃ、数学科じゃなかったから考えたこと無かったけどね）。

それと質問からちょっと違った視点から説明しました。この辺って感覚的に理解するのちょっと大変なんだけどね…
でも重要な考え方だから頑張って理解してね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
な、なるほど・・・。
F（x,y）＝０とG（x,y）＝０というのが、見たことがないものでよく分かりません。
ただ、kという係数を置くことでいろいろな数を表すというのはベクトルを通ずるところもあるために、なんとなく分かりました。
ポイントを抑えたアドバイスを頂けて、助かります。本当にありがとうございました。