数学Ⅱ 円と直線 の問題

質問

「座標平面に点Ａ(1,0)を固定し、点Ｐを直線:ｘ＋ｙ＝２上に、点Ｑを円:ｘ^2＋ｙ^2＝１上にそれぞれとる。このとき、線分の長さの和 ＡＰ＋ＰＱ の最小値と、そのときの点Ｐ、Ｑの座標を求めよ。」

この問題なのですが、単純に距離を求めればいいのかなと思いましたが、うまくいきません(^^;)

大まかでいいので、解く手順を教えてください！

回答No.1

dephands · ベストアンサー

解答の方針だけ。ポイントは二つです。

・(ＰをきめたときのＰＱの最小値は、Ｐと原点を結んだ線分と円の交点上にＱがあるときになるため、）ＰＱが最小となるとき、Ｑは原点を中心とする半径1の円なのでＰと原点を結ぶ線分の長さから、1をひいたものが最小のときのＰＱの長さとなる。

ということを前提に使います。

つぎに、この手の問題ではよくやる(？)ことですが、点Ａの、直線に対して対称な点Ａ'(2,1)をとります。このとき、長さＡＰ＝Ａ'Ｐになることに注意すると、ＡＰ＋ＰＱ＝Ａ'Ｐ＋ＰＱが最小になるのは、Ａ'、Ｐ，Ｑが直線状に並ぶとき、ということがわかります。

あとは計算で。

補足

回答ありがとうございます！
お礼が遅くなってすいません(^^;)
おかげで最小値を求めることができました！

補足なのですが、その後のＰ、Ｑの座標の求め方も教えていただけませんか？

回答No.2

mister_moonlight

これは比較的有名な“へロンの問題”と言われているもの。下のＵＲＬの(2)に書いてあるから参照して欲しい。
大学では微分の演習なんかに使われるが、高校数学ではその微分は範囲外だから、このように解いたら良い。
入試でも頻出なはずだ。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/316_s.htm

お礼

回答ありがとうございます！
おかげで無事に解くことができました！