円と直線の問題

質問

円C （x-2）^2＋y^2＝1と直線 y＝axが異なる２点A、Bで交わるとき、線分ABの中点をP（X,Y）としたときにX、Yがみたす式（どんな図形上にあるか）を求めたいのですが、うまくいきません。
私はまず交点のx座標をα、βとおいて、これは（x-2）^2＋y^2＝1にy＝axを代入した２次式
（a^2＋1）x^2－4x＋3＝0の２解となるから、解と係数関係からα＋β＝4/（a^2＋1）、
よってy＝ax上の２点A、Bのy座標はaα、aβとなるので、中点P（X,Y）について
X＝（α＋β）/2＝2/（a^2＋1）、
Y＝（aα＋aβ）/2＝2a/（a^2＋1）
として、aを消そうにも消せなくなりました。何が悪いのでしょうか？教えてください。あ、でも図形的に考えるのではなくあくまでこの方針でまずはお願いします。長くてすみません。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

X＝2/（a^2＋1）
Y＝aX

a^2＝2/X－1
Y^2＝a^2X^2

Y^2＝（2/X－1）X^2＝2X－X^2

（X－1）^2＋Y^2＝1

お礼

そういえばPもy＝ax上でしたね…ありがとうございました。