円と直線の交点を通る円

質問

次の問題について教えてください。

問題「円x^2+y^2=25と直線y=x+1の2つの交点と原点Ｏを通る円の方程式を求めよ。」
『チャートII＋Ｂ』（数研出版）

解答では
k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0 に(0,0)を代入するとk=25
よって、x^2+y^2+25x-25y=0　が求める方程式。

なのですが、

解説の「２曲線の交点を通る曲線の方程式」では、
f,gが円を表すとき、
kf+g=0　は
k=-1のとき　2つの交点を通る直線
k=-1でないとき、2つの交点を通る円
を表す。

とあるので、これに沿って
求める円を　x^2+y^2+ax+by+c=0　として

k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0

とおき、

k=-1のときが交点を通る直線なので　2円　x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0　の2つの交点を通る直線が
y=x+1 つまり　x-y+1=0 ・・・(1)
となると考えました。

ところがこれでは
-( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0　・・・(2)　
ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。
一方求める円は(0,0)を通るから(2)に代入するとc=-25となります。
いずれも答えになりません。

これはどういうことなのでしょうか？
何が間違っていたのかわかりやすく解説ください。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

あけましておめでとうございます。

> 求める円を　x^2+y^2+ax+by+c=0　として

だけど、その円は(0,0)を通るのだから、c=0である。なので

> k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0

という所をあからさまに

　　k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by=0

と書いてみれば、k=-1のとき

> (1)と係数を比較するとc=-24と

いう風にやる訳にはいかないことは一目瞭然でしょう。

> y=x+1 つまり　x-y+1=0 ・・・(1)


と比較するという考え方自体は結構なんですが、(1)の両辺を（0でない定数）p倍しても同じ直線の方程式なのだから、

　　p(x-y+1)=0

と比べないとね。それでp = a = 25, b = -25と決まる。

　この計算を、cを残したままやってみると、
　　ax+by+c+25 = 0
と
　　p(x-y+1)=0
を比較して
　　p = a = c+25, b = -c-25
となり、問題の円は
　　x^2+y^2+( c+25)x- (c+25)y+c=0
である。当然ながら、これが(0,0)を通る、という条件を抜きにしてはcは決まりません。

お礼

>p倍しても同じ直線の方程式なのだから、

　　p(x-y+1)=0

>と比べないとね。

これでしたね（^^;)

>p = a = c+25, b = -c-25
>となり、問題の円は
>　　x^2+y^2+( c+25)x- (c+25)y+c=0

aやｂをcで表せばよかったのですね！

すっきりしました！！！ありがとうございます
！

補足

あけましておめでとうございます！

回答No.3

shuu_01

僕はこの「解説」にむかつきました

まず、

｜　解説の「２曲線の交点を通る曲線の方程式」では、
｜　f,gが円を表すとき、
｜　kf+g=0　は
｜　k=-1のとき　2つの交点を通る直線
｜　k=-1でないとき、2つの交点を通る円
｜　を表す。

は良いです

でも、この問題にそのまま使えないじゃないですか

この問題に使うとすると

｜　解説の「直線と円の交点を通る円の方程式」では、
｜　f が直線,gが円を表すとき、
｜　kf+g=0　は
｜　2つの交点を通る円を表す

という方程式です

僕はこんな方程式、知りませんが、直感的に！ｗ 正しいです

僕の直感がそう告げています

そうすると

k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0

と置いて、原点を通るということから k ＝ 25 と
条件にあった円を求めることできます

たぶん、この解説を書いた人、バカなんだと思います

数学的な資質にかけてるので、po-pen24 さんが解説を
読んでわからないの当たり前、正常な反応です

お礼

この「解説」である「２曲線の交点を通る曲線の方程式」はこの問題をするための準備で「解答」はきちんとあります。
ただ「２曲線の交点を通る曲線の方程式」が「直線と円の交点を通る円の方程式」に使えることの説明がなかったので、自分で確かめようとしたのです。

すみません、説明不足でした。

回答No.2

shuu_01

まず、最初に po-pen24 さん、すごい勉強して、僕の知らない
「２曲線の交点を通る曲線の方程式」 を教えて頂き、
すごい勉強になりました。ありがとうございます

po-pen24 さんの考え方、良いと思います

｜　k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0
｜　
｜　とおき、
｜
｜　k=-1のときが交点を通る直線なので　2円　x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0　の2つの交点を通る直線が
｜　y=x+1 つまり　x-y+1=0 ・・・(1)
｜　となると考えました。

までは良いです

ただ、円 x^2+y^2+ax+by+c が原点を通るのですよね

k=-1 とおいて、できた直線が原点を通る訳でありません

ですので、

｜　ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。

　　　　　　↑

●　は間違いです ●

円 x^2+y^2+ax+by+c が原点を通るので　c ＝ 0 となります

そこで、

-( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by=0

ax ＋ by ＋ 25 ＝ 0

という直線の式が出て来ます

これが y ＝ x ＋ 1

　　　　 x － y ＋ 1 ＝ 0

ですので、比較して、a ＝25、b ＝ －25

したがって、求める円は

x^2 ＋ y^2 ＋ 25x － 25 ＝　0 となります

お礼

>k=-1 とおいて、できた直線が原点を通る訳でありません

そうなんですよね。

正しい解答はわかるのですが、なぜ自分のやり方でうまくいかなかったのかが悩みどころでした。

ありがとうございます。