直線の問題

質問

日本福祉大の過去の問題なのですが
学校から解答解説をもらっていないので
解き方が全くと言っていいほどわかりません...
上手く解説していただけたらありがたいです。

問.
次の連立方程式を同時に満たす(x.y)を座標にもつ点が平行四辺形の4頂点になっている。ただしa≠0とする。

(x+3y+1)(x-2y-4)=0,　(ax-y-7)(x/a-y+b)=0

(1)平行四辺形の対角線の交点の座標を求めよ。

(2)a,bの値を求めよ。

(1)は2直線の交点が平行四辺形の対角線の交点でいいのでしょうか。
どちらの問題もほとんど解き方がわからないです...、
よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.2

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして。

＃１さんは恐らく間違った答えを導いていらっしゃると思われます。

さて、

x+3y+1=0 …(1)
x-2y-4=0 …(2)
ax-y-7=0 …(3)
x/a-y+b=0 …(4)

としましょう。4つの交点というのは、

(1)と(3),(1)と(4),(2)と(3),(2)と(4)の交点を指します。順にそれらの点をA、B、C、Dとしましょう。するとできあがる四角形は、辺ACと辺BDを対辺とする四角形になります。したがってその四角形が平行四辺形であるというなら、

辺AC // 辺BD

である必要があるでしょう。ここで辺ACの傾きはa、辺BDの傾きは1/aですから、平行であるためには

a = 1/a ∴a = ±1

です。ゆえに＃１さんのお答えは間違っているでしょう。

さて、適当に（１）、（２）、（３）、（４）の直線を描いて、点A,B,C,Dの為す四角形の対角線の交点は（１）と（２）の交点であることがわかるでしょう。したがって、（１）と（２）を連立して、x=2,y=-1を得ます。

上で適当に図を描くといいましたが、4点が平行四辺形となるためにはうまく描かないといけないかもしれません。

さて、質問者さんの（２）の答えに行きましょう。上で導いたようにa=±1です。この時点で辺ACと辺BDは平行であることは保証されているので、2本のうち一方の対角線が点（2,-1）で2等分されれば、4点がなす四角形は平行四辺形となります。理由は2本の対角線の交点がそれぞれの対角線の中点となるからです（これは平行四辺形の持つ性質ですね）。

したがって、たとえば、点A,Bの交点を求めて（線分ABの中点）＝点（2,-1）とすればよいでしょう。図から(a,b)は2組あるでしょう。つまり

(a,b) = (1,☆)、（-1,＊）

のように。計算は・・・、がんばってだしてください。

では。

お礼

どうもありがとうございました！
解き方がよくわかりました。高2には少し難しかったかも知れません…(汗
もっと基礎を勉強してからまたやってみようと思います。

回答No.1

megane110

対角線とは、向かい合う頂点同士を結んだ線なので、２式の交点がそのまま対角線の交点となる。
従って、
(x+3y+1)(x-2y-4)=0　→これを解くには
(1)x+3y=-1
(2)x-2y=4　→(1)、(2)を連立
x=2,y=-1
これを２つめの式に代入
(2a+1-7)(2/a+1+b)=0 →これを解く
(1)2a+1=7
(2)2/a+b=-1
a=3,b=-5/3
よって、交点の座標は(2,-1)　a,bの値は上記の通り
よって、示された。

となります。