√（１-Ｘ＾２）の連続性を示したいです。

質問

εδ論法で、√（１-Ｘ＾２）の連続性を示したいのですが、なかなか上手く示せません。どなたか教えてくれませんか？

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

|√(1-x^2)-√(1-a^2)|
= |(1-x^2)-(1-a^2)|/|√(1-x^2)+√(1-a^2)|　　　　　　　(分子を有理化した）
≦|x^2-a^2|/√(1-a^2)

になるでしょう。
ということで、この問題は
|x-a| < δ
|x^2-a^2| < ε' = ε√(1-a^2)
に帰着する。
これは証明できるんだよね。
念のため
|x^2-a^2| = |x+a||x-a| = |(x-a)+2a||x-a| ≦ |x-a|^2 + 2|a||x-a| < δ^2 +2|a|δ
δ≦1とすると
δ^2 <= δ
|x^2-a^2| < (1+2|a|)δ = ε'
δ = ε'/(1+2|a|)
なので
δ　= min(1,1/(1+2|a|)＊ε')
かな。
（ε'は元に戻してね)

補足

δの定義に任意に取ってきたaを含む式を持ってきても大丈夫なのでしょうか？
δはxやaに依存しているのっておかしくないですか？

回答No.2

NemurinekoNya

No.1です。
この証明法ではa^2 = 1、すなわち a = ±1のときに塩梅が悪いね。

ということで、
a = ±1の時は
δ　= min(1,(1/3)＊ε^2)
にとればいいはず。
付け足しといて。