ε-δ論法による関数の連続性について

質問

f：R→R を
　f(x)=x^(1/3)　（xの3乗根）
と定めます．このとき f が R上連続であることはε-δ論法でどう示せばよいでしょうか？

任意の ε>0，a∈R をとったときに，
　0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε
となる δ>0 の存在が言えればいいわけですが，このδを具体的にどう決定してあげればいいかわかりません．

よろしくお願いします．

（見づらいと思うので画像を参照してください）

回答No.5

reiman · ベストアンサー

RとしてR+をとらないのならばa=0となりうるので
a=0のときにはNo.4のようにδ=ε^3とでもおかなければならない
a≠0のときには以下のとおり

|x-a|<δ=(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|・(x^(2/3)+x^(1/3)・a^(1/3)+a^(2/3))<(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|・((x^(1/3)+a^(1/3)/2)^2+(3/4)・a^(2/3))<(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|・(3/4)・a^(2/3)<(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|<ε

回答No.4

noname#133363

fは各実数にその実3乗根を対応させる関数ですよね。

・a>0の場合
何でもいいからλ（0<λ<1）を1つ選んで、|x-a|<λaとすると
0<(1-λ)a<x
なので
|x^(1/3)-a^(1/3)|
=|x-a|/{x^(2/3)+a^(2/3)+(ax)^(1/3)}
<|x-a|/K
ただし
K=a^(2/3){(1+(1-λ)^(2/3)+(1-λ)^(1/3)}>0。
δ=min {εK, λa}
とでもすればいいですね。

・a<0の場合も似たような感じか。

・a=0の場合δ=ε^3でいいですかね。

回答No.3

reiman

「0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」
は
「|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」
とすべき

「f が R上連続である」
は
「f が R＋上連続である」
とすべき

R＋：正の実数の集合

補足

> reiman 様

回答ありがとうございます．

>「0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」は「|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」とすべき

関数の連続性の場合は確かにそうすべきですね．

>「f が R上連続である」は「f が R＋上連続である」とすべき

とありますが，nを奇数とするとき，f(x)=x^(1/n)はR上で定義できるので，R上のままでいいのではないでしょうか？
勘違いでしたらすいません．

>δ＝ε・a^(2/3)・(3/4)

これを導いた過程をもう少し詳しく教えていただけますか？

回答No.2

reiman

δ＝ε・a＾（２／３）・３／４
の間違い

回答No.1

reiman

例えば
δ＝a＾（２／３）・３／４
とすればよい