（大学1年レベル）εδ論法を用いた証明法を教えてください。

質問

問.sinx/(1+cosx)→0(x→0)を示せ。
という問題です。
∀ε1＞0,∃δ1＞0,｜x-0｜＜δ1⇒｜sinx-0｜＜ε1
∴sinx→0
∀ε2＞0,∃δ2＞0,｜x-0｜＜δ2⇒｜cosx-1｜＜ε2
∴cosx→0　
∀ε3＞0,∃δ3＞0,｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3
∴sinx/(1+cosx)→0(x→0)■
と始め解答しましたら全然ちがうということでした。
このようなδ3をδ1δ2で評価しないといけないとのことです。
εδ論法を習ったばかりで本で調べてもよくわからないので、
どなたか教えていただきたいです。お願いします。

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

「εδ論法を用いて sinx/(1+cosx)→0 (x→0) を示せ。」
というのは、
「∀ε3＞0,∃δ3＞0,｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3
が成立することを示せ。」
つまり、
「｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3 の成立する正数δ3が
任意の正数ε3に対して存在することをを示せ。」
ということ。それが、「εδ論法」の語義です。
そのようなδ3を、具体的に挙げてみせるのが良いでしょう。

＞　∀ε3＞0,∃δ3＞0,｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3
＞　∴sinx/(1+cosx)→0 (x→0)■
では、結論を二度書いているだけで、その理由を何一つ示していない
ことになります。その理由を書くのが「証明」です。

δ3を挙げるには、sin x, cos x の定義から導いてゆくのが本来ですが、
『このようなδ3をδ1δ2で評価しないといけない』とのことならば、
＞　∀ε1＞0,∃δ1＞0,｜x-0｜＜δ1⇒｜sinx-0｜＜ε1
＞　∀ε2＞0,∃δ2＞0,｜x-0｜＜δ2⇒｜cosx-1｜＜ε2
を、定理として使って構わない…ということなのでしょう。

一例を挙げます。

任意の正数ε3に対して、
ε1＝2×ε3, ε2＝1 と置くと、上記の定理により、
｜x-0｜＜δ1⇒｜sinx-0｜＜ε1 となるδ1
｜x-0｜＜δ2⇒｜cosx-1｜＜ε2 となるδ2 が、ぞれぞれ存在する。
よって、｜x-0｜＜δ1 かつ ｜x-0｜＜δ2 ならば
｜sinx/(1+cosx)｜＜(ε1)/{1+(1-ε2)}＜(ε1)/2＝ε3 である。
つまり、δ3＞δ1 かつ δ3＞δ2 であるようなδ3をひとつとれば、
｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3 が成立する。

δ3の挙げかたは、他にもイロイロあるでしょう。

補足

回答（解答）ありがとうございます。
ひとつ疑問なのですが、
(ε1)/{1+(1-ε2)}＜(ε1)/2
がなぜ成り立つのかわかりません。
(ε2）＝１だから
（左辺）＝(ε1)＞（右辺）
になってしまうような気がします。
教えていただけませんか？

回答No.7

koko_u_

>｜sinx｜＜｜x｜はグラフより自明とすれば、
そのグラフをどうやって書いたかに思いを馳せれば、これもまた自明ではありません。
まずは、高校時代にいろいろ端折っていたところを埋める作業が続くでしょう。

回答No.6

arrysthmia

失礼、計算違いでした。
　　ε1＝ε3, ε2＝1 と置くと、
　　～中略～
　　｜x-0｜＜δ1 かつ ｜x-0｜＜δ2 ならば
　　｜sinx/(1+cosx)｜＜ (ε1)/(2-ε2) ＜ε1＝ε3 である。
でなくては。

更に、もう一つ間違い。
　　δ3＜δ1 かつ δ3＜δ2 であるようなδ3をひとつとれば、
　　｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3 が成立する。

とりあえず、「εδ論法を用いて示す」とはどういうことか
の参考になれば…

お礼

完璧に…ではないけれどもだいたい理解できました。
これからいろんな例題に慣れていきたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

HANANOKEIJ

http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0366-3
http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0365-6
岩波全書「解析入門」田島一郎著、
共立出版「イプシロン-デルタ」田島一郎著、
現代数学社「ε-δに泣く」石谷茂著、
現代数学社「∀と∃に泣く」石谷茂著、
講談社「微積分と集合　そのまま使える答えの書き方」飯高茂編集・監修
岩波書店「解析概論」高木貞治著、第１章。
数列の収束を学習しましたか？
イプシロンーデルタ論法で書かれた証明、εーN論法の証明をたくさん読んで
慣れてください。
本当は、微分積分(解析学)の実数の連続性は、実数の極限、近傍、連続写像など、位相空間の話題なので、深くやらないと思います。
朝倉書店数学３０講シリーズの「集合への３０講」「位相への３０講」を図書館で借りて読んでください。「位相への３０講」p.59にε-δ論法の定式がのべてあります。第８講p.63くらいまで読んでください。

お礼

学校で使っている教科書が難度の高いもので理解しがたいので、
今これらを図書館で借りて読んでます。
参考図書を教えてくださってありがとうございました。

回答No.3

kumipapa

＞　∀ε1＞0,∃δ1＞0,｜x-0｜＜δ1⇒｜sinx-0｜＜ε1　・・・ (1)
＞　∴sinx→0
うーん・・・ #1 さんのご回答・補足要求に対して、補足でちゃんと答えられてないですね。本当に sinx→0 を示したいなら、(1)の δ1 が存在することを具体的に示すか、そういう δ1 が存在することを証明しなければだめ。どういうつもりで(1)を書いたかは解答者の勝手なので、そういう根拠なしでは、「この人、ぜんぜん分かってない」と見切りを付けて以降読む価値無しと考える採点者は正しいと私も思う。　sin x →0 の定義？を示したいというのであっても、そのおかしさは何ら変わらない。この話が分からないなら、自身が納得できるまで教官にちゃんと聞いたほうがいいですよ。「おかしい」っていうおかしな連中がいるんですけど、どこがおかしいんでしょうか、と。私が思うに、(1) と「∴ sinx→0 」が質問者さんの頭の中で本末転倒してる。

＞　∀ε2＞0,∃δ2＞0,｜x-0｜＜δ2⇒｜cosx-1｜＜ε2　・・・　(2)
＞　∴cosx→0　
これも上と同様なんだけど。それにしても、cosx→0 は泣ける。

＞　∀ε3＞0,∃δ3＞0,｜x-0｜＜δ3⇒｜sinx/(1+cosx)-0｜＜ε3　・・・(3)
＞　∴ sinx / (1 + cosx)→0
では、解答になっておらず、デタラメと言われても仕方が無い。もともと問われていることは、ε3 が与えられたら、そいつに対して (3) が成立するような δ3 が存在することを証明すること（具体的に示せばよい）が要求されている。それが教官が言うところの、「このような δ3 を δ1, δ2 で評価しないといけない」というあたりでしょう。そのために、(1),(2) の δ1, δ2 を利用できないかを考える。
やるべき事がちゃんと分かっていれば、何も難しいことはありません。落ち着いて考えましょう。

回答No.2

koko_u_

>sinxが0に収束するという定義そのものを記しておいた方がいいと思ったからです。
>根拠といいますと・・・？
その証明を補足にどうぞ。という意味です。
普通の採点者なら一行目を読んだ時点でそれ以降は読まずに×をつけるでしょう。

お礼

いろいろとありがとうございました。
δの存在を示さねばならないという本質の理解に欠けていたようです。
これを機に理解できてよかったです。

補足

｜sinx｜＜｜x｜はグラフより自明とすれば、
δ=εとなるδをとって、
任意のε(＞0)に対し、｜x-0｜＜δならば、
｜sinx-0｜＜｜x｜＜δ=ε

回答No.1

koko_u_

まあ全然違うんですけど、まずは

>∀ε1＞0,∃δ1＞0,｜x-0｜＜δ1⇒｜sinx-0｜＜ε1

をどういう根拠で書いているかを補足にどうぞ。

補足

sinxが0に収束するという定義そのものを記しておいた方がいいと思ったからです。
根拠といいますと・・・？