f(x)=x^3はx=0で連続か不連続か

質問

『lim[x→a]f(x)=f(a)⇔f(x)がx=aで連続』
の⇒向きの話について疑問を感じます。
たとえば、
『f(x)=x^3はx=0で連続か不連続か。』
という問題で、解答は、
『lim[x→0]f(x)=0、f(0)=0より、
lim[x→0]f(x)=f(0)であるからf(x)はx=0で連続である。』
とかって書いてあるんですが、lim[x→0]f(x)=0っていうのはf(x)にx=0を代入して出しているのではないのでしょうか？
(建前上は、)y=x^3のグラフから極限値を調べた、ということなんでしょうか？
まぁ、この問題は本当に基礎の問題だからこのように書いてあるわけで、実際の問題では、多項式などは連続関数なのが自明だから、そこからはlim[x→a]f(x)=f(a)を使って求める、ということなのかな？と思ったんですが、どうなのでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

lim[x→0]f(x)=0 っていうのは、f(x) に x=0 を代入して出している訳ではありません。
それでは単なる f(0) です。
その f(0) と lim[x→0]f(x) が一致することを「f(x) が x=0 で連続」と呼ぶのです。
『lim[x→a]f(x)=f(a) ⇔ f(x)がx=aで連続』とは、そういう意味です。

連続であることが既に仮定されていれば、
f(x) に x=0 を代入することで lim[x→0]f(x) の計算に代えることができますが、
連続であることを証明する場合には、
ちゃんと lim[x→0]f(x) を求めて、f(0) と同じ値であることを示さなくてはなりません。
ちゃんと lim[x→0]f(x) を求めるためには、lim の正式な定義に基づかなくては
証明になりません。関数のグラフから雰囲気でモノを言っても、意味が無い。

というわけで、連続性とは何か？を定義しない高校の数学では、この証明は無理で、
大学式の微積分による必要があります。
初歩が未習であれば、一朝一夕という訳にはいきませんが、とりあえず
google か何かで「イプシロン・デルタ論法」をキーワードに検索してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
イプシロン-デルタ論法というものがあることを初めて知りました。
ネット上で調べてなんとなくは理解できたと思うんですが、要するに、x→aのときのf(x)の極限がαであると示すためには、任意の正の数εに対して、0＜|x-a|＜δを満たすxなら、0＜|f(x)-α|＜ε、といえるδが存在することを示せばいいのですよね？

でも結局極限であろうαの値はグラフなどから推測することになるのでは、と思ったのですが、違いますかね…？

回答No.4

alice_44

←A No.1 補足
極限の値を推測するには、グラフを援用してもよいし、
パッと見に連続性が明らかなら、代入してしまってもよい。
ただし、それは単なる推測であり、証明をするまでは
数学的には何も言えていない ということです。

お礼

なるほど。
すっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

これは、たとえば、「連続でない」関数を考えた方がわかりやすいです。

x = 0で、

f(x) = x^3 （ただし、x ≠ 0 のとき） 1 （ただし x = 0 ）のとき。

は、連続ではありません。

ところで、子供の頃、こんな言い合いをしませんでしたか？
「ぼくのお小遣いは1000円だぞ」
「ぼくなんか、10000円だ」
「ぼくなんか、100000円だ」
こんな調子で、「どちらが、0に近い数字を言えるか」という言い合いをしてみましょう。

「ぼくは、0.1だ」
「ぼくなんか、0.01だ」
「ぼくは、0.001だぞ」
どこまでも続けられます。

これで、上の f(x) を計算すると、その結果は、どこまでもゼロに近づきます。
これが、lim[x→0]f(x) という意味です。
※0 に近づいているだけで、0と言わないのがミソ。

でも、上の関数は、f(0) = 1 です。
だから、不連続。

既に回答にある、ε・δ（イプシロン・デルタ）というのは、これに似た考え方です（さらに厳密ですが）

お礼

回答ありがとうございます。
参考にさせていただきました。

回答No.2

hugen

(1)
y=x^3　のグラフから　x=0　のときの　(0,0) を取り去る。
このグラフで、　　　x → 0　　　とすると　y → 0
一方、　f(0)=0^3=0　　よって　x=0　で連続。
(2)
0<x<1　とすると　0<x^3<x → 0 (x → 0)
-1<x<0　のときも同様。　　よって　x=0　で連続。
(3)
lim[x→0]x^3=lim[x→0]x*lim[x→0]x*lim[x→0]x=0^3
よって　x=0　で連続。

お礼

回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。