問題:実数cについてR上の関数f(x)を次により与

質問

問題:実数cについてR上の関数f(x)を次により与える
x≠0のときf(x)=x^2, x=0のときf(x)=c
c=0のときfはR上で連続であること及びc≠0のときfはx=0で連続でないことをεδ論法でそれぞれ証明せよ
以下僕が考えた答えなのですが自信ないです。添削よろしくお願いします。
前者について
r∈Rとする。このとき∀εにおいて0<|x-r|<δとなるような∃δ>0を取るとき|x^2 - r^2|<εとなればよいのでx-r=z, δ≦1とすると
|x^2 - r^2|=|z^2 +2rz|=|z||z+2r|≦δ(1+2|r|)
よってδ<ε/(1+2|r|)とすれば前者は成り立つ

後者について
∀ε>0において0<|x-0|<δとなるような∃δ>0を取るとき|x^2 -c^2|≧εとなればよいのでz=x-c, δ≦1とすると
|x^2 - c^2|=|z^2 +2cz|=|z||z+2c|≦δ(1+2|c|)
よってδ>ε/(1+2|c|)とすれば後者は成り立つ

回答No.4

tmpname

間違えた。
∃ε>0が存在して∀δ>0に対して|x- 0|<δとなる∃xが存在して、|x^2 - c|≧ε
です。x=0の時、f(x)=cとするのでした。c^2でない。

回答No.3

tmpname

> ∃ε>0が存在して∀δ>0に対して|x-c|<δとなる∃xに対して|x^2 - c^2|≧ε

∃ε>0が存在して∀δ>0に対して|x- 0|<δとなる∃xが存在して、|x^2 - c^2|≧ε
ですね。これを示すことになります。

回答No.2

tmpname

後者に関しては例えば
『任意の』εに対して、φ(ε）が成り立つ
の否定は、
『ある』ε『があって、』φ(ε）が成立しない
になること、
『ある』δがあって、φ(δ)が成り立つ
の否定は、
『任意の』δに対して、φ(δ)が成立しない
になることに注意してもう一度「fはx=0で連続でない」を書き直してください。

補足

つまり∃ε>0が存在して∀δ>0に対して|x-c|<δとなる∃xに対して|x^2 - c^2|≧εってことでしょうか？

回答No.1

tmpname

前者の方は、『∀εにおいて0<|x-r|<δとなるような∃δ>0を取るとき』というのは何かはっきりしない（これだと、多分間違っているととられられる）。
「0<|x-r|<δとなるような∃δ>0を取る」だと、あるxの値が先にあって、それに対して0<|x-r|<δを満たすあるδが存在する、というように読める。そうではなく、定義に従って「任意のεに対して、あるδが存在し、そのδに対してxが0<|x-r|<δの範囲で任意に動いても」と分るように書いてください。

「後者」の方については、そもそも証明する内容、つまり、
『∀ε>0において0<|x-0|<δとなるような∃δ>0を取るとき|x^2 -c^2|≧εとなればよい』
が完全に間違っています。「fがx=0で連続でない」はこうではない。

（その後ろの、|x^2 - c^2|≦δ(1+2|c|) だからよってδ>ε/(1+2|c|)とすれば（その間違っている）後者は成り立つ、という論理展開も間違っているが、そもそも示そうとしていること自体が間違っている）

「fがx=0で連続でない」をもう一度書き直してみてください。