εδ論法を使った問題の答え

質問

f(x)=x^2がx=2で連続であることを示せ（εδ論法で）
という問題があったとすると、その回答は

ある正の実数εを用いて
|x^2-4|<εとすると、|x^2-4|=|x-2||x+2|より
|x-2|<ε/|x+2|
ここである正の実数δ=ε/|x+2|ととると
|x-2|<δとなる範囲で|x^2-4|<εが成り立つので命題は示される。

であっていますか？；
これは友達に教えてもらったやり方です。
でもなんかよくわからなくていろいろなネットで調べてみたんですが
このような式変形は見当たらない気が・・・><!?

これであっていればいいのですが
もしどこか間違っているところがあればご指摘お願いします。

あとは、この問題はこのやり方で大丈夫だけど、
もっと難しい？問題だと適応できない
などというのがあればそれも教えてください。；

回答No.3

graphaffine

>ある正の実数εを用いて
及び
>|x-2|<δとなる範囲で|x^2-4|<εが成り立つ

上記のことが言えてるとして、本当に命題が示されていることになるのか、良く考えてみてください。

>|x-2|<δという前提のもと
いきなり、わけの分からないδを持ち出して、前提だと言われても無理がある。
εとδの関係をはっきりさせましょう。

>もっと難しい？問題だと適応できない
ε-δ論法は単なる論法(考え方)であり、問題がどうであろうとも考え方は変わらない。問題によって変わるのは、その論法の適用方法であり、当然問題に応じた形にする必要がある。

回答No.2

Tacosan

あ～, 「|x-2|<ε/|x+2|」と「δ=ε/|x+2|」から「|x-2|<δとなる範囲で|x^2-4|<εが成り立つ」か. それなら, 流れはあっているか.... もうちょっと丁寧に
|x^2-4| = |x+2||x-2| < |x+2|δ = ε
と書いてくれた方が親切だけど.

いずれにしても,
「ある正の実数δ=ε/|x+2|ととると」
では x が含まれてしまっているのでアウトです. δ は ε には依存していいのですが, 逆に ε にしか依存してはいけません.

で, 計算上は「δ に対して ε を考える」, つまり
|x-2| < δ のときに |x^2-4| < ε であるような ε を δ の式で表す
方が簡単だったりします. ここでなるべく簡単な式で表しておいて, それをひっくり返す. ということで,
|x-2| < δ のときに |x^2-4| < ほにゃらら
であるような, なるべく簡単な δ の関数「ほにゃらら」を考えてください. 必要なら, (一言断ったうえで) 「δ < 1」を仮定してしまってかまいません.

お礼

なるほど！
今一度ネットをみてやってみました↓

(途中式略)
|x^2-4|＝|x-2||x+2|
＝|x-2||x-2+4|
＝|(x-2)^2+4(x-2)|
≦|x-2|^2+4|x-2|
＜δ^2+4δ………(1)

よってδ^2+4δ＜εを満たすδが存在すればよい
δ＞0に注意して不等式を解くと
0＜δ＜-2+√4+ε………(2)

従ってどんな正の実数εをとっても上式を満たすδが存在するので命題は示される

で大丈夫ですか？
(1)まではあっていると思うんですが、(2)で証明できたことになるのかイマイチ解らなくて…

私の理解力が乏しくネットで調べても抽象的でよく解りません;
ただ、テストまで時間ないしεδ論法は１問しか出ないらしいので
とりあえずやり方だけ覚えて数値を機械的にあてはめてやって
テストは乗り切りたいと思っています。
(私がこの質問をしたのは、教科書にも書いてなく授業でも扱ってないεδ論法をテストに出すというふざけた教授のせいです←)

なので、このやり方であっているかどうかもう一度教えて下さい(>_<)

ps個人的にはεδ論法をちゃんと理解したいので、
時間のある夏休みにじっくり学ぼうかなと思っています。

回答No.1

Tacosan

端的に言えばダメ.

まず, δ を決めるときに「x」が入っているのはおかしい. そのあとの不等式
|x-2|<δ
はどう解釈すればいいのですか?

あと, 実はよく見てみると
「|x-2|<δとなる範囲で|x^2-4|<εが成り立つ」
って, 全然言ってないんだよね.

お礼

ありがとうございます(>_<)
やはりダメなんですね…

というか今一度確認したいんですけど、εδ論法って上に示した例題に即していうと
|x-2|<δという前提のもと|x^2-4|<εが成り立っている、ということが証明できればok
てな解釈であってますか…？

Tacosanさんの回答を見ると、この解釈すら違ってる気がするんですが…汗

|x-2|<δという自明の事実をどうにかこうにか利用して
|x^2-4|<εということを導き出せばいいのかな、と思ってたのですが。