収束

質問

x→aのときf(x)→α,g(x)→βとする。
このときx→aにおいてf(x)*g(x)→αβであることの証明を
εδ論法で解説してください。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

|f(x)g(x)-αβ|
=|(f(x)-α)(g(x)-β)+(f(x)-α)β+α(g(x)-β)|
≦|f(x)-α||g(x)-β|+|f(x)-α||β|+|α||g(x)-β|
なので、
|f(x)-α|＜√(ε/3)
|f(x)-α|＜ε/|3β|
|g(x)-β|＜√(ε/3)
|g(x)-β|＜ε/|3α|
を満たすδに対して、
|f(x)g(x)-αβ|＜ε
となる。

お礼

ありがとうございます。
教科書では証明が端折られていたもので、助かりました。

回答No.3

alice_44

A No.2 を見て、やっと気づいたが、
α, β は、問題文で使用済みだった。恐縮。

(ε_1)(ε_2)＜ε となる正数 ε_1, ε_2
ならよいか。

回答No.1

alice_44

任意の正数 ε について、それぞれ
αβ＜ε となる正数 α, β が在る
ことを示しましょう。ポイントは、そこ。
あとは、εδ論法の型どおりです。