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関数f(x)の連続性について
よろしくお願いします. たとえば, 関数f(x)が与えられたとします. その関数は,X=a点の,ある近傍において 連続微分可能(単純のためここでは1回微分可能)とします. よって, その近傍においては,元の関数f(x)の点でも連 df(X)/dxに関しても連続ですよね.ここまでは OKですか? 次に, この場合,この条件から, X=a点で,f(a)も連続であると言えるのですか? ちなみにa点では,連続微分可能ということは言っていません. しかし, 関数f(x)がaの近傍で定義されていて, lim{f(x)}=f(a) x→a ならば,f(x)は,x=aで連続である と通常の解析本での連続の定義はされているので, これを表記せねば,連続であるとは言えないのでしょうか? それとも,表記せずとも,導出されてしまうのでしょうか? イプシロンデルタの表記法はなじみがないので, できれば,使うのであれば初心者にも分かりやすいように,どうぞお願いいたします.
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>X=a点で,f(a)も連続であると言えるのですか? え~っと、下準備としてRolleの定理と平均値の定理を確認し、それからご質問の回答に進みましょう。 【Rolleの定理】 f(x)は区間[a,b]で連続、(a,b)で微分可能とする。もしf(a)=f(b)ならば、区間(a,b)のある点においてf'(X)が0になる点Xが存在する。(注)(a,b)は開区間、[a,b]は閉区間を意味しますね。 [証明]直感的にいきましょう(笑い)。a,b両端で関数の値(y軸の高さ)が等しいことから関数としては (1)y=dというx軸に平行な直線か (2)上あるいは下に凸の関数 となりますね。(1)の場合は区間(a,b)内の全ての点でf'(X)=0を満たしますし、(2)の場合は(a,b)内のある点x=ξで極値をとる、つまりf'(ξ)=0となる点x=ξが存在するということになります。 【平均値の定理】 f(x)は[a,b]において連続、(a,b)において微分可能とすると f(b)-f(a)/(b-a)=f'(ξ),a<ξ<b (3) なるξが存在する。 [証明] F(x)=f(x)-Ax (4) とおいて、F(a)=F(b)となるように定数Aを決めることができます。つまり F(a)=f(a)-Aa=f(b)-Ab=F(b) から A=f(b)-f(a)/(b-a) (5) と求まります。ところでF(a)=F(b)ですからRolleの定理よりF'(ξ)=0、a<ξ<b なるx=ξが存在することになります。(4)よりF'(x)=f'(x)-Aとなりますから F'(ξ)=f'(ξ)-A=0 (6) (6)に(5)を代入して整理すると f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a) (7) となって平均値の定理が証明されました。 <本論> 次ぎの定理がご質問の回答になると思いますが、その証明を示しておきます。 [定理] 「f(x)が連続なる区間内の1点aは別としてaの近傍ではf(x)が微分可能で、lim[x→a]f'(x)=kが存在するならばf'(a)=k、すなわちaの近傍においてもf(x)は微分可能で、f'(x)は連続である。」 [証明] 区間(a,x)あるいは(x,a)をとり、平均値の定理を適用すると f(x)-f(a)/(x-a)=f'(ξ),a<ξ<x or x<ξ<a (8) となる点x=ξが必ず存在しますね。x→aの時、ξ→aとなりますから、上でのべた仮定によりf'(ξ)→kとなります。つまり lim[x→a]{f(x)-f(a)/(x-a)}=k即ちf'(a)=k 以上、駆け足で駆け抜けましたが、この辺の詳しい説明は、高木貞治著「解析概論」に載っていますので(←他にも適当なテキストがあると思うが)、一度図書館でご覧になられてはいかがでしょうか。
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- jmh
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f(x)=sgn(x)、つまり、x<0のとき=-1、x=0のとき=0、x>0のとき=+1、はどうですか? fは、0以外では何回でも微分できますが、0では連続ではありません。f´、f´´、f´´´、…は、0以外の点で定義できて、定値=0です。lim f´(x)=0です。
お礼
微分可能性と連続の定義があいまいだったため,たいへん参考になりました.どうもありがとうございました.
お礼
年末年始で,返事できなく申し訳ありませんでした. ご丁寧に順を追って説明していただき大変分かりました.また,早々,高木貞治を参考させていただきました.どうもありがとうございました.