三角関数（たとえばf(x)=sinxとか）の連続性を証明したいんですけ

質問

三角関数（たとえばf(x)=sinxとか）の連続性を証明したいんですけど、一週間くらい悩んでてもなかなか思いつかなくて・・・

問題的に、
微分可能⇒連続
を使うのではなく、ε-δ論法で示すってことだと思うんですけど。

いちおう自分の力で示したいので、解答ではなくヒントを教えてもらいたいです。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

講義でやってない・・・って
そもそもあなたはそんなこと一言も言ってないでしょう？
一般的に「εδ」で関数の連続性を示したいとかいうなら
講義で多少は習ってると解釈されるのは当然だし
もし習ってないとしても
大学生だったら何かの本を見るとかして
多少は調べるものでしょう・・・・
＃杉浦本とか高木本くらいは見てほしい，先生に参考書を聞いたっていいでしょう．

三角関数の連続性の証明ってのはそれなりに厄介．
定義に依存するってのは数学をやるなら常について回ること．

・地道に実数論を積み上げて，級数で三角関数を定義して
絶対収束とかの議論から連続性を示す
・何らかの定義でsin(x)/xの極限を求めて微分可能性を示して連続を示す
・e^ixの公式とe^xの連続性から示す
・ある二階線形常微分方程式の初期値問題の解として三角関数を定義して連続性を示す
・ある種の関数方程式の解として三角関数を定義して連続性を示す

定義に依存して連続性は自明になったりするけど
その代り周期性とか，|sin(x)|<=1とかが自明じゃなくなったりする．

さて
三角関数の定義やら細かいことはさておき，式変形だけで処理するなら
sinの積和の公式と|cos(x)|<=1，
xが十分0に近いとき|sin(x)|<=|x|であることから
初等的に示せるけど，
そもそも，
|sin(x)|<=|x|を示すのはどうする！？
という問題もあったりする．

お礼

たくさんの例ありがとうございます。
やはり様々な手法があるのですね。

今の自分的にはやはり和積と|sin(x)|<=|x|を利用した方法での証明が分かりやすかったりします。
追々他の三角関数の定義などを理解した上でほかの方法にも取り組んでみたいと思います。

回答No.5

noname#114871

三角関数の定義はいろいろとあるのでここでは単位円上1点Pを任意にとって
OPとx軸の偏角をΘ(ただし弧度法)としてPの座標を(sinΘ,cosΘ)としてsinΘ,cosΘを定める。
単位円と正のx軸との交点をAとおくとさらにΘは弧PAの長さに帰着できる。
すると(グラフないのは申し訳ない。ここは自分で図を書いて確かめてみよ)　偏角変数Θ,hをh≠Θで任意に与えると|sinh-sinΘ|<|h-Θ|であることがいえる。
ここで、
　　　　任意のε(>0)に対してあるδ1(=ε/2)>0が存在して
　　 |h-Θ|<δ1=ε/2⇒|h-Θ|<ε　　　　は成立するので

　　　　　　|h-Θ|<δ1(=ε/2) ⇒|sinh-sinΘ|<|h-Θ|<ε⇒|sinh-sinΘ|<ε
が成り立つ。よって
　　　　　　sinΘはどんなΘにたいしてもΘで連続。

回答No.4

alice_44

単位円かぁ。それは、イバラの道ですね…
その定義のしかたは、図示し易いので、
パッと見て雰囲気で納得して終わるだけの
高校教程には、よく馴染むのですが、
きちんと証明して話を進めようとすると、
幾何学的直観を計算に翻訳するところで
込み入った説明を要します。

まず、弧度法を定義するために、曲線の長さを定義し、
それがある種の積分で表示されることと
円弧の場合にその積分が収束することを示さねばなりません。
その上で、多価関数として現れる逆三角関数を
局所連続な枝の集まりと捉えて、
その逆関数として三角関数を定義する。
その際、逆三角関数の多価性が三角関数の周期性に対応して、
実関数として well-defined になる…というようなことを、
順に説明せねばならないからです。

No.3 さんが書いておられるように、
解析学的に定義するほうが遥かに簡単で、
大学教程では標準的です。

貴方の受けている講座では、
その辺を全部独力でやれというのでしょうか、
それとも、高校流のナアナアで終わろうというのでしょうか。

お礼

単位円は直感的には分かりやすいですからね。
逆三角関数の逆関数として定義するというのは、それはそれでなかなか面白い手法だと思います。

失礼を承知でちょっと言わせてもらうと、
はっきり言って何も知らない方に寝てただのナアナアだのと言われたくはありません。
このサイトにも授業をちゃんと聞いて復習などすれば分かるような質問も見受けられますが、それらに対してあなたは「授業聞けば分かるだろ」なんていちいち書いて回らないですよね？
そういった嫌味みたいなこと言われると次回質問しづらくなったり、誰でも見ていて気持ちのよいものではないと思います。
今回は僕が無知ながらに質問してしまったということもありますが、やはり「寝てた」とかいったような一言は余計なのではないでしょうか？
みんなが快適に利用できるサイト作りを目指しましょうよ。

もう一度言いますが、出すぎたまねをしていることは重々承知です。すみません。

僕の質問に対する皆さんの協力には感謝しています。
ご協力ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

大学生の知識で、まづ最初にすべきことは、
講義で採用された sin の定義を確認することです。
三角関数を定義する方法は何種類もあり、
それらの定義は相互に同値だとはいっても、
そのどれに基づいて証明するのか次第で
証明の内容は全く異なります。
…というか、
大学生であれば、証明の具体的内容はともかく、
No.1, 2 に書いた程度のことは、最低限理解していなくては。
講義では、寝ていたんですか？

お礼

講義で三角関数の定義なんてやってません。
ちなみに講義で使用している教科書では単位円で定義されています。

回答No.1

alice_44

三角関数の定義を確認することが重要です。
定義のしかたには、流儀がイロイロありますから。
中学高校流で、単位円周上の点の座標値
としたのでは、証明といっても、
「円のグラフがずーと繋がっているから連続」
以上のことは、言えそうにありません。
εδで形式的にカッチリ証明したいのであれば、
三角関数の定義も、形式的に整えておかなければ。
べき級数による定義なんかが
いいんじゃないかと思います。
その場合、連続性の証明は、「正則性より自明」
となります。

お礼

その場合は自明・・・ですか・・・

それじゃあ証明問題としてどうしようもなくなってしまいますよ・・・。
もっと大学一年生の知識で出来る証明方法はないんですか？