関数の連続の証明

質問

ｌｏｇｘがｘ＞０で連続であることをε-δ論法で証明せよという問題が分りません。どうか教えてください。

回答No.3

ujitaka

glasses23さん、ご指摘のとおりです。うっかりしていました。X／aが１以上の場合と１未満の場合に分けなければなりません。訂正します。
ε＞０、a＞０とします。
(1)Xが正の方向からaに近づく場合
　a＜X＜a＋δ　に対して次が成り立つ。ただし、δ＝a((10^ε)－1)
　｜logX－loga｜＝｜logX／a｜＜｜log(1＋(δ／a))｜＝ε
●δの設定のしかたは、1＋(δ／a)＝10＾ε　からです。
(2)Xが負の方向からaに近づく場合
　a－δ＜X＜a　　ただし、δ＝min(a(1－10^(－ε)、a／2))
　｜logX－loga｜＝｜logX／a｜＜｜log(1－(δ／a))｜
＝－log(1－(δ／a))＝log(a／(a－δ))＝ε

●δの設定のしかたはa／(a－δ)＝10＾ε　からです。

お礼

何度も教えて頂き本当にありがとうございます。

回答No.2

ujitaka

NO１の回答者です。
｜X－a｜＜δ ととったので、a－δ＜X＜a＋δ　となっています。
aでわると、(a－δ)／a＜X／a＜(a－δ)／a
となります。a－δ＜0　となるとまずいので、
δ＝min(10＾ε－1、a／2)　としたほうがいいかもしれません。

回答No.1

ujitaka

低が10として証明します。
任意のa＞0と任意のε＞0に対して、｜ｘ－a|< δ　を満たすｘについて
次のように変形できる。ここで、δ＝a{(10＾ε)－１}とおきます。
｜ｌｏｇｘ－ｌｏｇa|＝ ｜ｌｏｇ(ｘ／a)|< ｜ｌｏｇ((a＋δ)／a))|＝ ｜ｌｏｇ(1＋(δ／a))|＜ε

お礼

ありがとうございます。一つ質問なんですがｘ／ａが１より大きい場合と小さい場合にわけて考えなくてもいいのでしょうか？