数学Ａ 順列にちいて

質問

Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄの7文字を1列に並べるとき、Ａ同士もＢ同士も隣り合わない並べ方は何通りか
という問題で、まずＡ3つを並べて、Ａの間と横の4つの枠にＢ Ｂ Ｃ Ｄを並べると考えて、最初のＡは1通り、Ｂ Ｂ Ｃ Ｄを並べるのは4！÷2！としたのですが答えは96通りと全く違います
なぜ全く異なる答えになるのでしょうか？阿呆みたいな質問だと思われるでしょうが解説をお願いします

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

何の工夫もありませんが、地道に数えてみました。

まず、Aの置き方は、地道に数えれば10パターン。

AOAOAOO
AOAOOAO
AOAOOOA
AOOAOAO
AOOAOOA
AOOOAOA
OAOAOAO
OAOAOOA
OAOOAOA
OOAOAOA

Oが隙間ですが、そこにB, C, D をどう置くかを考えてみます。

1) 隙間の数が 1,1,2 1,2,1 2,1,1 になるパターンは6個
それぞれの B, C, D の置き方は10通りですから、計60通り。

2) 隙間の数が 1,3 と 3,1 のパターンは２個で、
　 それぞれの B, C, D の置き方は8通りなので、計16通り

3) 隙間の数が 2,2 のパターンは1個で、
　 それぞれの B, C, D の置き方は8通りなので、計8通り

4) 隙間の数が 1,1,1,1 のパターンは1個で
　 それぞれの B, C, D の置き方は12通りなので、計12通り

計 96通り。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.5

momordica

> なぜ全く異なる答えになるのでしょうか？

正解よりずっと少ない数になってしまったのですから、当然数え落としがあるということです。
というか、数え落としすぎなので、満たすべき条件をもう一度よく考えてください。
条件に合うAとそれ以外の文字の配置はもっといろいろなパターンがあります。

一般に、この手の「何かが隣り合わないように並べる」という問題では、先に
「隣り合っても構わないもの」を並べて、その隙間に「隣り合ってはいけないもの」を
一つずつ入れていく、というやり方で考える方が効率がいいです。
この問題では「隣り合ってはいけないもの」が2種類あるのでやや複雑ですが、
数の少ないBの方は場合分けでごまかすことにして、とりあえず、最後にAを
並べるという方針で行きます。

まず、B, B, C, D の4文字の並べ方を考えます。
この時、2つのBが隣り合っているかどうかでAの入れ方が変わってくるので、
これで場合分けします。

[1] 2つのBが隣り合わない場合　（BCBDなど）
　　先にC, D を並べて、その間および両側の計3か所のうち2か所にBを入れます。
　　　　[ ]C[ ]D[ ] 　
　CとDの並べ方が 2! = 2 （通り）、Bを入れる場所の選び方が 3C2 = 3 （通り）　あるので、
　　B, B, C, D の並べ方の総数は、
　　　　2! * 3C3 = 6 （通り）

[2] 2つのBが隣り合う場合　（BBCDなど）
　　2つのBをひとまとめにして、BB, C, D の3つの物の並べ替えと考えます。
　　　　3! = 6 （通り）

ここまで、一応計算で出しましたが、数が少ないので列挙して数えてもいいでしょう。
次に、この4文字の間と両端の計5か所のうち3か所にAを入れます。

[1] 2つのBが隣り合っていない場合　（BCBDなど）
　　5か所のうち3か所にAを入れればいいので、Aの入れ方は、
　　　　5C3 = 10 （通り）

[2] 2つのBが隣り合っている場合　（BBCDなど）
　　5か所のうち、2つ並んだBの間には必ず１つAを入れなければいけません。
　　　　[ ]B[A]B[ ]C[ ]D[ ]
　　残り4か所のうち2か所に残り2つのAを入れればよいので、Aの入れ方は
　　　　4C2 = 6 （通り）

したがって、7文字の並べ方の総数は
　　6*10 + 6*6 = 96 （通り）
となります。

まあ、どういう考え方でも間違いなく数えられさえすればいいのですけどね。

回答No.4

yyssaa

未確定の二枠の未確定とはなにが未確定なのでしょうか？
＞Ａの間と横の４箇所のどこに配置するかが未確定ということです。

お礼

分かりました ありがとうございます

回答No.3

yyssaa

「Ａの間と横の4つの枠にＢ Ｂ Ｃ Ｄを並べる」という
考え方が、そもそも間違いの始まり。Ａの間の２箇所は
確定"枠"だが、横(両端)は何も並べなくてもよい。
従って、Ｂ Ｂ Ｃ Ｄの４文字を入れる"枠"は、未確定の
２"枠"について考えなければならず、まず、１"枠"ずつを
Ａの間と横の４箇所に配置する仕方が４C２＝６通り、
２"枠"をまとめて配置する仕方が４通りの計１０通りある。

お礼

未確定の二枠の未確定とはなにが未確定なのでしょうか？
よろしければ回答お願いします

回答No.1

masssyu

こんにちは

考え方としてはあっていますが、少し足りません

考え方を読むと、このように考えていると思います

　　　○　A　○　A　○　A　○　

しかしこれでは足りません

正しくは　○　○　A　○　A　○　A　○　です

Aが端に来ることもあるので、それを含めないといけません

そして、このような計算の時に割り算はほぼ使いません

例. 4P2=4*3　とします

　5つの空間に4個のものを置くので　5P4

　さらに、Bが隣合う場合をのぞかなければいけないので、
　B2つを1つと考えて、

　○　A　○　A　○　A　○　と考えられ

　4つの空間に3個のものを置くので　4P3

　あとは　5P4-4P3＝5*4*3*2*-4*3*2*1=(5-1)*4*3*2*1=16*6=96

となります。

お礼

Ａの入る予定だった枠が一つあまるということでしょうか 分かりました
追加で質問なのですが
○　○　A　○　A　○　A　○にＢ Ｂ Ｃ Ｄを入れるとき
Ｂ　Ｂ　A　○　A　Ｃ　A　Ｄと入れたらＡは隣り合いませんか？
また
Ｃ　A　ＢＢ　A　Ｄ　A　○
みたいなパターンが
○　○　A　○　A　○　A　○
にはありませんよね
なのに引いてしまうとない組み合わせを引くことになるのではないのですか？

おそらく私がこの考え方の根本を理解してないということだと思いますが、理解するためにもできたら説明していただきたいです お願いします