昇順での順列

質問

添付した画像の順列、組み合わせの答えをだしてください。

以下の条件があります。

・大文字と小文字は組み合さない。（たとえばAとa）

・Aからへの昇順のみ

(1)この組み合わせが何通りあるか
(2)その公式
(3)なぜそうなるかの説明
(4)実際の組み合わせ（たとえばA・B・C・D・EやA・b・C・Dなど）

当方、数学に弱いので、具体的な説明があると助かります。

回答No.3

WiredLogic · ベストアンサー

#1です。

申し訳ありません。夜遅くに、他の仕事しながら、
回答書いてたので、文字数を数え損なってました。

６文字の文字列なので、2^6 = 64通り、ですが、

＞＞「実際の組み合わせ」で４文字の列が出てきているところをみると、
＞がどのことを指しているのか分かりませんが、

＞(4)実際の組み合わせ（たとえばA・B・C・D・EやA・b・C・Dなど）

のところですが、よく見たら、４文字なのは、後の方だけで、前のは５文字ですね。

すると、正解コースは、１文字～６文字全部の、

2+4+8+16+32+64 = 126通りの方ですか。

＞また順列の公式では
＞n(P)r=n(n-1)(n-2)…（n-r+1）
＞ですが、今回の質問の公式にはあてはまらないのでしょうか？

これは、n個の互いに違うものから、r個を取り出して、
それを並べる場合の公式で、

例えば、1～8の数字が書かれたカードから、
３枚取り出して３桁の数を作る場合に、

百の位が、1～8の８通り、
十の位は、百の位で使った数字以外の７通り、
一の位は、百の位、十の位で使った数字以外の６通り、

で、8P3 = 8*7*6、とやるような時に使います。

質問の問題は、そういう流れで行くと、
大文字、小文字と書いた札がどちらもたくさん
(６枚以上)あって、そのなかから、
６文字だったら、６枚取り出した時の並べ方で、2^6通り、
５文字だったら、５枚取り出した時の並べ方で、2^5通り、
…

同じ大文字と書いた札、小文字と書いた札が
たくさんあり、重複してとっても構わないので、

６枚なら、２通りのものを、重複を許して、６つ並べる場合の数、
まとめて、重複順列と呼ばれるタイプのものです。
n通りのものを、重複を許して、r個並べる、重複順列は、
式では、nΠr と書き、公式は、nΠr = n^r になります。

ちなみに、Πは、ギリシャ文字でπ(パイ)の大文字、
nPr の P は、英語のPermutation(順列)の頭文字ですが、
Pが使用済み^^のため、ギリシャ文字でPに当たるΠを
使っています。ついでですが、
円周率のπは、(円)周が、英語で、perimeter
peri-が、回りををぐるりと、という意味で
(潜水艦の潜望鏡が、periscope)、
-meterは、メーターやメートルと同じ、測る、
という意味の言葉なので、図形の周(囲)、
主に、円周のことを表しますが、
その頭文字pを、目立つように、ギリシャ文字にしたものです。

補足

大変お詳しい解説でありがとうございます。（P）はなぜPなのかとずっと思ってたのですが、やっと意味がわかりました。感謝です。

＞「実際の組み合わせ」で４文字の列が出てきているところをみると、
長くなるから端折ったのではなくて

おっしゃるとおり、端折りました。その「全部の列を作る」ということであれば（縮小して例をA～Cにしますが）、AaBbCcという要素のすべての列を作る場合でも計算式は♯1でお答えいただいたのと同じですか？つまりこの場合A～Cは2*2*2 = 4*2 = ８通りということで。

そうではなく、♯１の最後の

＞全部の列の合計

の方法ですか？つまりAの2通り、Bの4通り、Cの8通り2+8+4＝14通りのように。

いずれにしろ、「全部の列の合計」とは、質問の「昇順」、つまりA以前にくるものがない場合での並べ方の条件ではなく、たとえばBを先頭、次にはCを先頭にする場合の順列が可能なすべての数のことなのでしょうか？

回答No.4

WiredLogic

#1&#3です。

あ、全部で６文字だけど、例では、４文字や５文字で打ち切ってたということですね^^

６文字の列「だけ」を作るのであれば、2^6=64通りで、
「最初の質問の答」は、これです。

１文字～６文字の列の全部の場合なら、2+4+8+…+64=126通り、ついでに、

＞たとえばBを先頭、次にはCを先頭にする場合の順列が可能なすべての数のことなのでしょうか？

の場合なら、まず６文字(A,aは一緒とみて)の並べ方・
6P6 = 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720通りのそれぞれについて、
(この場合は、普通の順列なので、nPrの出番になります^^)
大文字・小文字の選び方が、2Π6 = 2^6 = 64 通りあるので、
720*64 通りということになります。

回答No.2

asuncion

＞７文字の列を作る、

実際は6文字、のように見えます。

回答No.1

WiredLogic

条件の表現が解りにくいのですが、

１文字目は、Ａかａのどちらか、
２文字目は、Ｂかｂのどちらか、
…
７文字目は、Ｆかｆのどちらか、

の、７文字の列を作る、

ということでいいんですよね？

それとも、「実際の組み合わせ」で
４文字の列が出てきているところをみると、
長くなるから端折ったのではなくて、
１文字から７文字までの全部の列を作る、

ということでしょうか？

１文字の列を作る場合なら、

その文字は大文字か小文字かの２通りしか
ないので、２通り、実際の列は、Ａかａ、

２文字の列を作る場合なら、

１文字目が大文字か小文字かで、２通り、
それぞれについて、
２文字目が大文字か小文字かで、２通り、
全部でかけて４通り、
大大・大小・
小大・小小、とならべれば、
なぜ掛け算するのかも解るはず、
実際の列は、ＡＢ・Ａｂ・ａＢ・ａｂ、

後は、同じことを続けていくだけですが、
数学に弱いとおっしゃってるので、
サービスに、この次まで、

３文字の列を作る場合は、
２文字の列の作り方が、2*2=4通りあって、
それぞれに、
３文字目が、大文字か小文字かで、２通り
全部で、2*2*2 = 4*2 = ８通り。
実際の列は、
ＡＢＣ・ＡｂＣ・ａＢＣ・ａｂＣ、
ＡＢｃ・Ａｂｃ・ａＢｃ・ａｂｃ、

次は、8*2=16通りで、実際の列は、
この並び全部に、Ｄを付けた奴(8つ)と、
ｄを付けた奴(8つ)を並べていくだけ、

で、以下同様にして、

７文字の列を作る場合なら、
１文字目２通り、２文字目２通り、…
７文字目２通りで、
全部で、
2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 128通り、

１文字～７文字まで全部の列の合計を求めるのなら、
2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 = 254通り、

さすがに、これだけ書きならべてほしい、
とは言いませんよね^^

お礼

というのは、この式は「異なるn個のものからなる集合があるとき、そのうちのr個を取り出し、順序をつけて一列に並べたら…」という場合の式ですが、この質問の場合、そしてお答えの式では、「r個を取り出す」部分はどこに該当するのでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。

わかりずらい説明で済みません。
＞「実際の組み合わせ」で４文字の列が出てきているところをみると、

がどのことを指しているのか分かりませんが、

＞１文字目は、Ａかａのどちらか、
２文字目は、Ｂかｂのどちらか、
…

おっしゃるとおりの条件です。

また7文字ではなくAからFの6文字です。

ですので
＞2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 128通り、
は7文字ではなく、6文字目のことではないでしょうか？
また順列の公式では
n(P)r=n(n-1)(n-2)…（n-r+1）
ですが、今回の質問の公式にはあてはまらないのでしょうか？