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余弦定理を使った問題
三角錐ＡＢＣＤにおいて、辺ＣＤは底面ＡＢＣに垂直である ＡＢ＝3で、辺ＡＢ上の点Ｅは、ＡＥ:ＥＢ＝1:2を満たし、∠ＤＡＣ＝30゜、∠ＤＥＣ＝45゜、∠ＤＢＣ＝60゜である 辺ＣＤの長さを求めよ という問題なのですが手も足も出ません… 解説お願いします ちなみに答えは3√5/5です
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△ACD,△ECD,△BCDは直角三角形だから、 CA=√3CD、CE=CD、CB=(√3/3)CD △ABCにおいて、点Cから辺ABに下ろした垂線の交点をFとすると、 CA^2-AF^2=CE^2-EF^2=CB^2-BF^2 CD=x、AF=yと置いて、 3x^2-y^2=x^2-(y-1)^2=x^2/3-(3-y)^2 これを解けば、 x=3√5/5 が出てきます。
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- ferien
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ANo.2です。お礼の質問について 辺ＡＣ 辺DC 辺AE 辺DC 辺AE ３ｘ^2＝ｘ^2＋１^2－２×ｘ×１×cosａ ＞これどこの三角形なのかが全く分からないのです… ＞cos aということはＡＥＣだと思ったんですがだとしたらxがないですし… 底面△ＡＢＣの中の△ＣＡＥのことです。 頂点をＣとした方が考えやすいので、△ＣＡＢとみて △ＣＡＥと△ＣＢＥに分けて説明しています。 cos aは、角ＡＥＣでいいです。cos a＝cos（角ＡＥＣ） △ＣＡＥで、 ＣＡ^2＝ＣＥ^2＋ＡＥ^2－２×ＣＥ×ＡＥ×cos（角ＡＥＣ）で、 ３ｘ^2＝ｘ^2＋１^2－２×ｘ×１×cos ａ と対応します。 △ＣＢＥで、cos（π－ａ）＝cos（角ＢＥＣ）＝－cos a ＣＢ^2＝ＣＥ^2＋ＢＥ^2－２×ＣＥ×ＢＥ×cos（角ＢＥＣ）で、 （１／３）ｘ^2＝ｘ^2＋２^2－２×ｘ×２×cos（π－ａ）に対応して （１／３）ｘ^2＝ｘ^2＋２^2＋４ｘcos ａ になります。 △ＣＡＢの形で図を描いてみて下さい。
お礼
ああ、三角形ＤＣＥで辺ＣＥがxだと分かってるのを忘れていました すみません おかげでようやく(3√5)/5が導き出せました ありがとうございました！
- info22_
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A#1の補足の質問について >なんで△ACD,△ECD,△BCDは直角三角形なんですか？ 「三角錐ＡＢＣＤにおいて、辺ＣＤは底面ＡＢＣに垂直である 」から 底面と辺CDは垂直ですね。 ということは 「辺CDは底面上の任意の直線（辺）とも垂直である」ということです。 辺AC、辺EC、辺BCは全て底面ABC上の辺（直線）です。 つまり AC⊥CD、EC⊥CD、BC⊥CDなので ∠ACD＝∠ECD＝∠BCD＝90° 従って、△ACD,△ECD,△BCDは、それぞれ、その１つの角 ∠ACD、∠ECD、∠BCDが90°なので、３つとも直角三角形である。 と言えるのではないでしょうか？ CDについては、#1～#3の方が回答済みですので省略します。 余弦定理や３平方の定理、三角関数や立体的な図形の把握に慣れるようにすれば 解ける問題ですね。
お礼
垂直であることを見逃してました…すみません… 丁寧にありがとうございます
- yyssaa
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△BCDは∠C=90゜∠B=60゜∠D30゜ BC=xとするとCD=√3x △ACDは∠C=90゜∠D=60゜∠A=30゜ よってAC=3x △CDEは∠C=90゜∠D=∠E=45゜よってCE=CD=√3x ∠ABC=αとして△BCEに余弦定理を適用 (√3x)^2=x^2+2^2-2*2xcosα → xcosα=(2-x^2)/2 △ABCに余弦定理を適用 (3x)^2=x^2+3^2-2*3xcosα → 8x^2=9-6xcosα xcosα=(2-x^2)/2を代入して 8x^2=9-3(2-x^2) → 5x^2=3 → x=√(3/5) CD=√3x=(√3)(√(3/5))=3/√5=(3√5)/5
お礼
(3x)^2=x^2+3^2-2*3xcosα 3xというのはどこの辺なのですか？
- ferien
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三角錐ＡＢＣＤにおいて、辺ＣＤは底面ＡＢＣに垂直である ＡＢ＝3で、辺ＡＢ上の点Ｅは、ＡＥ:ＥＢ＝1:2を満たし、∠ＤＡＣ＝30゜、∠ＤＥＣ＝45゜、∠ＤＢＣ＝60゜である ＞辺ＣＤの長さを求めよ ＣＤ＝ｘとおく。 辺ＣＤは底面ＡＢＣに垂直だから、∠ＤＣＡ＝∠ＤＣＥ＝∠ＤＣＢ＝９０゜で、 ∠ＤＡＣ＝30゜、∠ＤＥＣ＝45゜、∠ＤＢＣ＝60゜であるから、 △ＡＣＤは、１：２：√３の直角三角形だから、ＡＣ＝√３ｘ △ＢＣＤは、１：２：√３の直角三角形だから、ＢＣ＝（１／√３）ｘ △ＥＣＤは、１：１：√２の直角三角形だから、ＥＣ＝ｘ △ＣＡＢで、∠ＣＥＡ＝ａとおくと、∠ＣＥＢ＝π－ａ cos（π－ａ）＝－cosａ △ＣＡＥで余弦定理より、ＡＥ＝１だから、 ３ｘ^2＝ｘ^2＋１^2－２×ｘ×１×cosａ ２ｘcosａ＝１－２ｘ^2 …（１） △ＣＢＥで余弦定理より、ＢＥ＝２だから、 （１／３）ｘ^2＝ｘ^2＋２^2－２×ｘ×２×cos（π－ａ） （１／３）ｘ^2＝ｘ^2＋２^2＋４ｘcosａ ４ｘcosａ＝－（２／３）ｘ^2－４ （１）を代入して、 ２（１－２ｘ^2）＝－（２／３）ｘ^2－４ ６（１－２ｘ^2）＝－２ｘ^2－１２ これを解いて、ｘ＞０よりｘ＝3√5/5 よって、ＣＤ＝3√5/5 図を描いて考えてみて下さい。
お礼
辺ＡＣ 辺DC 辺AE 辺DC 辺AE ３ｘ^2＝ｘ^2＋１^2－２×ｘ×１×cosａ これどこの三角形なのかが全く分からないのです… cos aということはＡＥＣだと思ったんですがだとしたらxがないですし… 説明お願いします
お礼
なんで△ACD,△ECD,△BCDは直角三角形なんですか？