高校数学の四面体の体積の問題(再) 3-19別解

質問

四角錐V-ABCDがあって、その底面ABCDは正方形であり、また4辺VA,VB,VC,VDの長さはすべて相等しい
この四角錐の頂点Vから底面に下ろした垂線VHの長さは6であり、底面の一辺の長さは4√3である

VH上にVK=4なる点Kをとり、点Kと底面の一辺ABとを含む平面でこの四角錐を2つの部分に分けるとき、頂点Vを含む部分の体積を求めよ

図1http://imgur.com/5xQss8F
図2http://imgur.com/IFmVCkj

解説は図1において2つの四面体XYZUとXY'Z'U'の体積の比は1:abcである　題意の四角錐を四面体に分割してこのことを使うと　平面VACで四角錐を切るとき、図2のようにKは切り口の三角形の中線を2:1に内分するからVP:PC=1:1である、すると明らかにVQ:QD=1:1　するとV-ABPQ=V-APQ+V-ABP

=1/2×1/2×V-ACD+1/2×V-ABC=1/4×1/2×V-ABCD+1/2×1/2×V-ABCD=3/8{1/3×(4√3)^2×6}=36とあるのですが

V-APQ=1/2×1/2×V-ACD　V-ABP=1/2×V-ABCとなるのが理解できないです

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

(a) 四面体XYZU : 四面体XY'Z'U' = 1:abc

を適用するだけです。

(1) (a) より 四面体VACD : 四面体VAPQ
　= 1: ((VA/VA)(VP/VC)(VQ/VD))
　= 1 : (1×(1/2)×(1/2)).
　∴四面体VAPQ = (1/2)×(1/2)×四面体VACD■.
(2) (a) より四面体VABC : 四面体VABP
　= 1: ((VA/VA)(VB/VB)(VP/VC))
　= 1 : (1×1×(1/2)).
　∴四面体VABP = (1/2)×四面体VABC■.

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございました、助かります