高校数学の四面体の体積の問題です 3-19別解

質問

四角錐V-ABCDがあって、その底面ABCDは正方形であり、また4辺VA,VB,VC,VDの長さはすべて相等しい
この四角錐の頂点Vから底面に下ろした垂線VHの長さは6であり、底面の一辺の長さは4√3である

VH上にVK=4なる点Kをとり、点Kと底面の一辺ABとを含む平面でこの四角錐を2つの部分に分けるとき、頂点Vを含む部分の体積を求めよ

図1http://imgur.com/5xQss8F
図2http://imgur.com/IFmVCkj

解説は図1において2つの四面体XYZUとXY'Z'U'の体積の比は1:abcである　題意の四角錐を四面体に分割してこのことを使うと　平面VACで四角錐を切るとき、図2のようにKは切り口の三角形の中線を2:1に内分するからVP:PC=1:1である、すると明らかにVQ:QD=1:1　するとV-ABPQ=V-APQ+V-ABP

=1/2×1/2×V-ACD+1/2×V-ABC=1/4×1/2×V-ABCD+1/2×1/2×V-ABCD=3/8{1/3×(4√3)^2×6}=36

とあるのですが、最初の図1で2つの四面体XYZUとXY'Z'U'の体積の比は1:abcであるとあるのですが、四面体の体積は1/3×底面積×高さですよね、何でこの2つの四面体の体積の比が1:abcとわかるのですか？底面積も高さも出していませんよね？

後はV-APQ=1/2×1/2×V-ACD　V-ABP=1/2×V-ABCとなるのが理解できないです、多分最初の例で示した2つの四面体XYZUとXY'Z'U'の体積の比は1:abcの所が理解できれば分かるかと思うのですが

回答No.5

akinomyoga · ベストアンサー

No.1-4 の方針で行くならば、垂線を降ろして相似が言えます。

(1) 点U, U' から平面XYZに降ろした垂線の足をそれぞれ点H, H' とする
(2) (1) より UH⊥平面XYZ, UH'⊥平面XYZ なので UH∥UH'.
(3) (2) より ∠XUH = ∠XU'H'.
(4) (1) より ∠XHU = ∠XH'U' = ∟.
(5) (3, 4) より△XUH∽△XU'H'.
(6) (5) より UH : U'H' = XU : XU' = 1 : c.

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しかし、そもそもそんな面倒な事しなくてもいい様な…。

(2.1) 正四面体OABCがあって辺AB上に点D があるとする。この時、
　正四面体OABC : 正四面体OADC
　　= △ABC : △ADC (∵2つの正四面体の高さ(Oから対面ABC or ADC に降ろした垂線の長さ)が同じなので。)
　　= AB : AD (∵2つの三角形の高さ(Cから対辺に降ろした垂線の長さ)が同じなので。)..

を繰り返し使えば 1:abc など一瞬です。丁寧に書くならば:

(2.2) (2.1) より 四面体XYZU : 四面体XY'ZU = XY : XY' = 1 : a.
(2.3) (2.1) より 四面体XY'ZU : 四面体XY'Z'U = XZ : XZ' = 1 : b.
(2.4) (2.1) より 四面体XY'Z'U : 四面体XY'Z'U' = XU : XU' = 1 : c.
(2.5) (2.2-2.4) より 四面体XYZU / 四面体XY'Z'U'
　= (四面体XYZU /: 四面体XY'ZU) (四面体XY'ZU / 四面体XY'Z'U) (四面体XY'Z'U / 四面体XY'Z'U')
　= (1/a) (1/b) (1/c) = 1 / abc■.

お礼

御返答有難うございます

補足

おおぉぉ、凄い、分かりやすいですねー、理解できました～

助かりました、有難うございました～、宜しければ他の質問している問題も宜しくお願いします

回答No.4

Tacosan

もちろん 1 とか c とかがそのまま「高さ」というわけではない. だからこそ「U'やUから△XY'Z'や△XYZに垂線を下ろしてその長さを (正確には『長さの比』を) 求める必要がある」ということになる.

で, まさにそのまま「U'やUから△XY'Z'や△XYZに垂線を下ろしてその長さの比を求め」ればいい. それだけ.

実際にはほぼ中学生レベルのネタでしかない.

お礼

御返答有難うございます

補足

>「U'やUから△XY'Z'や△XYZに垂線を下ろしてその長さの比を求
>め」ればいい. それだけ

3角形を使ってそれを、やって見てくださいませんか？自分でやってみたけど、上手くいかなかったです

回答No.3

Tacosan

なにを目的にどういうことをしてどこで困った?

お礼

御返答有難うございます

補足

No1の方の御説明で△XYZの面積：△XY'Z'の面積=1:abは分かります

ここから体積の比ですからU'から△XY'Z'までの高さ、Uから△XYZまでの高さが分かればいいのですが、

図にあるcや1は高さではないですよね、これが高さの比になると仰るのですが、それが分からないのです、高さですからU'やUから△XY'Z'や△XYZに垂線を下ろしてその長さを求める必要があるはずです

回答No.2

Tacosan

自分で垂線を書けばいいじゃないか.

お礼

御返答有難うございます

補足

勿論書きましたよ、でも相似とか合同とかが言えなくて分からなかったです

回答No.1

yyssaa

何でこの2つの四面体の体積の比が1:abcとわかるのですか？
底面積も高さも出していませんよね？
＞面XYZ(=面XY'Z')とUとの距離：面XYZ(=面XY'Z')とU'との距離=1:cは明らか。
△XYZの面積=(1/2)*1*1*sin∠YXZ、△XY'Z'の面積=(1/2)*a*b*sin∠YXZ
△XYZの面積：△XY'Z'の面積=1:ab
よって2つの四面体の体積の比は1:abcとなる。

お礼

御返答有難うございます

補足

>面XYZ(=面XY'Z')とUとの距離：面XYZ(=面XY'Z')とU'との距離=1:c
>は明らか。
面XYZとUとの距離と面XY'Z'とU'との距離の比というのはUから面XYZに下ろした垂線の長とU'から面XY'Z'に下ろした垂線の長さの比のことだと思うのですが、それが何故それが1にcになるのですか？

図を見たら垂線は無いしどうやって分かるのですか？