直行行列で対角化する問いについてお願いします。

質問

0 1 1
Ａ＝< 1 0 -1>を直行行列で対角せよ。
1 -1 1
　Ａ＝Ａの転置となる。Ａの固有値λ＝－√３　、√３、１で各固有ベクトルを求め、単位固有ベクトルを３本作り、直交行列を作ると、二重根号ばかりで求めた直交行列が合っているのかわかりません。

この問いはどのようになるのかご教授願います。

回答No.4

think2nd · ベストアンサー

確かに固有ベクトルを探すのが面倒ですね。Aの3つの固有値の一つλ=1を使って残る二つの固有ベクトルを求めてしまいましょう。λ=1のときの固有ベクトルの一つはu=(1　1　0)　ですから。(uは行ベクトルで書いていますが列ベクトルです。以下すべて列ベクトルです。)v=(a　b　c)とします。このvベクトルが√3の固有ベクトルとして見つけ出します。Aは対称行列ですからしかも固有値を3つ持っていますから、
Av=(√3)v・・・(1)かつu・v=0・・・(2)の性質を持っています。

(1)からAv=(b+c　a-b　a-b+c)=(√3)(a　b　c)・・・(1)'
(2)からa+b=0より　たとえばa=1,b=-1ととって(1)'に代入すればc=1+√3
ですからv=(1　-1　1+√3)でこれがλ=√3の固有ベクトルの一つです。
まったく同じ手法でλ=-√3のとき固有ベクトルが(1　-1　1-√3)と求まりますから、
　　(1　　　1　　　　1)　　　(1　　1　　　1)(1　0　　0)
　A(1　　　-1　　　-1)　=　(1　　-1　　-1)(0　√3　　0)
　　(0　1+√3　1-√3)　　　(0　1+√3　1-√3)(0　0　-√3)
と書けそうですね

回答No.3

Tacosan

どこで困っているんでしょうか?

「直交行列かどうか」の判定がそれほど難しいとは思えないし, それで対角化できるかどうかも「単に計算するだけ」ですよねぇ.

回答No.2

alice_44

やってみたが、確かに二重根号が出てきて、
変換行列の逆行列の計算には、自信が持てない。
答え合わせなら、maxima でも使ってみたら？

回答No.1

info22_

>λ＝－√３　、√３、１
合ってる。

>単位固有ベクトルを３本作り、直交行列を作ると、二重根号ばかりで
どうなった？
求めた固有ベクトルや単位固有ベクトルが書いてないのでチェックできないよ？

単位固有ヘクトルにすると３つの内２つは分母に２重根号が付くね。

補足

３つの固有ベクトルを一つにした際、二重根号が入っている係数２つともう一つの係数を処理するには、どのように計算すればいいでしょうか？