行列の対角化について

質問

(4 -5)
(2 -3)
という行列Ａがあり、この行列の固有値が２とー１、固有ベクトルが
a(5),b(1)
　(2) (1)
となります。（ただしa,bは０でない任意実数）
この行列Ａを対角化するときに対角化するのに必要な行列をＰであらわすと
Ｐ＝(5 1)
　　 (2 1)
とできるとあるのですがこのＰを
Ｐ＝(1 5)
　　 (1 2)
とすることはできないのでしょうか？

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

>やってみたところ
P＝(5 1)
　　 (2 1)
で対角化したところ(2 0)
　　　　　　　　　　　　 (0 -1)
になりました
P=(1 5)
　　(1 2)で対角化したときは
(-1 0)
(0 2)となりました

それでＯＫです。どちらも正解です。
対角行列は固有値をλ１、λ２とすると
（λ１　０）
（０　λ２）
とかかれますね。今の場合λ１＝－１、λ２＝２と置いた場合とλ１＝２、λ２＝－１と置いた場合の対角行列の表記の違いだけです。行列を対角化するうまみは行列の冪計算が容易になるということで、結局λ１とλ２の積の値がポイントということになります。この点は参考ＵＲＬを見てください。蛇足として、行列式で列と列、行と行を入れ替えるとマイナスが付くということを思い出すと
（－１　０）
（　０　２）
列を替える
→（０　－２）
　（１　０）
行を変える
→（２　０）
　（０　－１）
ということで、一緒ですね。

http://www.ipc.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2004/5E/linear_equations/relaxation/html/node2.html

参考URL：

http://www.ipc.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2004/5E/linear_equations/relaxation/html/node2.html

お礼

では、回答には
(2 0)
(0 -1)
だけしか載っていなくても
(-1 0)
(0 2)も答えで間違いないということですね。
確かに列と行を入れ替えていけば同じ形になりますね。
ありがとうございました。

回答No.4

koko_u_

>Pは二通りしかないので
他にもあるよ。

補足

他にもあるのでしょうか…
(10 1)
(4 1)
や
(10 3)
(4 3)
のように固有ベクトルを入れていけばいいのでしょうか？

回答No.2

koko_u_

うんうん。
次の問題は「対角化」は固有ベクトルを入れ替えた方法で得られた
(2 0)
(0 -1)

(-1 0)
(0 2)

のみなのか、他にもあるのか。だ。

補足

他にですか…
Pは二通りしかないので対角化は
(2 0)
(0 -1)
と
(-1 0)
(0 2)
の二つしかないと思います。

回答No.1

koko_u_

やってみればわかる。
「公式」で覚えようとすると、そのような些細な問題に直面することになるでしょう。

そもそも固有ベクトルを使った対角化とはどういうものかを思い出して下さい。

補足

やってみたところ
P＝(5 1)
　　 (2 1)
で対角化したところ(2 0)
　　　　　　　　　　　　 (0 -1)
になりました
P=(1 5)
　　(1 2)で対角化したときは
(-1 0)
(0 2)となりました