行列の三角化について

質問

行列Aの対角化が出来なくても、上三角行列の形に三角化できるというのですが、これはどのような手順でやればいいのですか？

例えば3×3行列で、固有ベクトルが1つ（α）しか出てこなかったとします。
この場合は当然対角化はできないのですが、三角化は出来るようです。

参考書には、まず固有値αのときの固有ベクトルx1,x2を出します。
そしてその固有ベクトルx1,x2を正規直交化してu1,u2を求めます。

そのあとu1,u2にに直交するような大きさ1のベクトルu3を作ります。
ここまでは一応理解しました。しかしこの後が問題です。

ここで、
Au3=au1+bu2+cu3・・・（※）
となるa,b,cを求めるとあります。

そしてU=[u1 u2 u3]とおくと
AU=A[u1 u2 u3]=[Au1 Au2 Au3]
=[αu1 αu2 au1+bu2+cu3]
となるので、'UAUより三角化できるとあります。
（'UはUの転置行列です）

質問したい箇所は、（※）の部分です。
なぜこのような形にしないといけないのですか？

よろしくお願いします。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

Au3=au1+bu2+cu3
とa,b,cを求めるのは三角の形を明かにするための作業であって
三角化する行列はa,b,cを求めるまでもなく
U=[u1 u2 u3]
と求まっているのです。
もしa,b,cを求めるのが面倒ならば
U^-1AU
を計算して三角行列を求めれば良い。
まーこの計算よりもa,b,cを求める方が楽かどうかの問題です。
やってみてどっちが楽か身をもって感じてください。

回答No.1

reiman

>なぜこのような形にしないといけないのですか？

そのようにしなければならないということはありません。
そのようにすれば三角にできるということです。
もし三角にしたいのならばジョルダンの標準形にすればよい。
この手法は確立されているのでそれで一件落着です。
もし三角にする行列をユニタリにしたいのならば
ジョルダン化するベクトルにシュミット直交化すれば良いだけです。
この様にするとジョルダン標準形は崩れますが三角は保たれます。

補足

回答ありがとうございます。

このような形にする必要はないとありますが
もしこのやり方で上三角行列にするならば、
なぜAu3=au1+bu2+cu3とするのでしょうか？
こうすることは一体どんなことを意味しているのですか？