行列の対角化について

質問

｜-8　9　-9｜
｜9　-8　　9｜
｜9　-9　10｜
という行列に関してです。
まず固有値をλとするとλ＝１、－８となると思うのですが、この場合、対角化できるのでしょうか？できると思うのですが、うまくいきません。固有値が間違っているのでしょうか？
また、対角化をする際、各固有値に対する固有空間の基底を求めて、その基底を並べて対角化するための変換行列を作ると思いますが、基底の並べ方に制約があったりするのでしょうか？
以上なのですが、ご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

P を列ベクトルにバラして、固有ベクトルになってるかどうか確認すれ。

お礼

遅くなりましたが、ご教授ありがとうございます。確認してみます。ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

>となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？

何故計算してみようとしないのか。不思議です。

お礼

ご返答ありがとうございます。
一応計算はしました。基底も色々と変えてみて計算したのですが、（Ｐ－１）ＡＰがうまく対角行列にならなかったので、質問させていただきました。ですので、基底の並べ方に制約があったりするのかという質問をさせていただきました。決して丸投げしているつもりではございません。よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia

対角化できます。
もとの行列を A、単位行列を E と書くこととして、
固有値 1 の固有空間の次元が dim Ker(A-E) = 3 - rank(A-E) = 2、
固有値 -8 の固有空間の次元が dim Ker(A+8E) = 3 - rank(A+8E) = 1 で、
その和が行列のサイズ 3 に等しいため、対角化可能です。
固有空間の次元の和が行列のサイズより小さい場合には、
ジョルダン標準形に非対角成分が生じます。

(P^-1)AP を対角行列にする場合、P の列に A の固有ベクトルを並べれば十分です。
並べ方に、特に制限はありません。どんな順番で並べても、
P に固有ベクトルを並べた順番で、(P^-1)AP の対角成分に固有値が現われます。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。大変参考になりました。
ちなみに、この行列の場合の変換行列Ｐは、

｜１　１　－１｜
｜１　１　　０｜
｜１　０　　１｜

となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？