なぜ正規行列で対角化するの？？

質問

アホな質問です。
対角化するとき、エルミート行列あるいは実対象行列のときはユニタリー行列Uあるいは直行行列を使って対角するような問題ばかりなのですが、なぜ、普通に任意の正則行列Pをつかって対角化しないでしょうか？

ユニタリー行列を探すには、固有ベクトル見つけたあと、グラムシュミットで正規直交基底をつくってやらんきゃならんわけですよね。単に固有ベクトルならべてつくるPより、面倒だと思うのですが？
教科書にはそういうときはユニタリで対角化できるみたいに書いてあるんで普通の正則行列Pでも対角化自体はできんですか？
その後においてどういう利点があるんでしょうか？

確か前どっかで聞いたことあったような・・Uが直行しているのでなんかの計算で便利なんでしたっけ？何かをわざわざ計算しなくてもいいから楽？ってどっかで見たか聞いたことあったような・・・。わかりやすく大学初学年にもわかりやすい程度でお願いします・・。m(__)m

回答No.4

reiman

正規行列の固有ベクトルは必ず直行していて、シュミットの直交化をするとは言っても単に長さを１に規格化するだけで＞
これは大間違いです。

No.3はNo.2の捕捉を読まずにNo.3を書いたので
補足に対する回答をしていませんでした。

固有値がすべて異なるならばそれでOKですが
同一固有値もあるので長さを1にするだけではありません。
真面目にシュミット直交化をしなければなりません。

回答No.3

reiman

失礼しました。
No.2は不要でした。
No.1でOKです。
シュミットの直交化する際に固有空間で区分けする必要はありません。

n次正規行列Aについて
n個のn次列ベクトル列
p[1],p[2],p[3],…,p[n]によって
[p[1] p[2] p[3] … p[n]]^-1A[p[1] p[2] p[3] … p[n]]
が対角行列になるならば列ベクトル列
p[1],p[2],p[3],…,p[n]
をこの順にシュミット直交化してできる列ベクトル列を
q[1],q[2],q[3],…,q[n]
としたとき
[q[1] q[2] q[3] … q[n]]^-1A[q[1] q[2] q[3] … q[n]]=
[p[1] p[2] p[3] … p[n]]^-1A[p[1] p[2] p[3] … p[n]]
です。
勿論シュミット直交化したわけなので
[q[1] q[2] q[3] … q[n]]^*=[q[1] q[2] q[3] … q[n]]^-1
です。(^*は複素共役転置）
これは
正規行列の異なる固有値に対する固有ベクトル同士は直交する
という性質から簡単に導かれます。

2,3次元空間でいうと斜交座標で我慢するか
直交座標でいくかといった違いなので
直交化することによって自分の問題が解決するかどうかに応じて
使い分けすれば良いでしょう。
例えば
x'(t)=Ax(t)
といった連立微分方程式を解くだけならば座標変換により
シュミット直交化する必要はありません。

回答No.2

reiman

正確さに欠けたので再度書くと

正規行列の場合には異なる固有値に対する固有ベクトルは必ず直交するので
同一固有値に対する固有空間内の固有ベクトルの組をその空間内でシュミット直交化を行うことによって対角化するための固有ベクトルを作成して
それらのベクトルを並べるとユニタリ行列になってくれるのである。

お礼

ありがとうございます。くだけて言えば、正規行列の固有ベクトルは必ず直行していて、シュミットの直交化をするとは言っても単に長さを１に規格化するだけでユニタリになるから、そんなにすごくめんどくさいわけでもないということですか？？

回答No.1

reiman

必要なければ別に正則行列で対角化してもよい。
ただ、正規行列の直交化の場合はシュミットの直交化を行っても
対角行列が壊れないのでその方が便利ならばそうすればよいだけ。
必ずしもそうする必要はない。
しかし、問題で要求されたらできるのだからそうしなければならない。