対称行列の対角化

質問

行列Aの固有値と固有ベクトルを求めよ。また、行列Aを対角化せよ。
　　(3 1 1)
A=(1 2 0)
　　(1 0 2)

っていう問題で、固有値1,2,4は出したんですけど、そこから普通に固有ベクトルを出して対角化しようとしたらうまくいきませんでした。
対称行列では何か特別な方法を使うんでしたっけ？
Aは３次の正方行列です。
どなたかわかる方教えてください。

回答No.2

echoes_x86 · ベストアンサー

こんにちは．

>この行列を対角化して、P^-1APを求めてみたところ、
のくだりが良く分かりませんが(Pをさらに対角化する？)，
固有値，固有ベクトルの行列P共に正しく計算できています．
P^-1APを計算して対角行列にならなかったのなら，
逆行列の計算P^-1の計算間違いかと．
P^-1=
(1/3 -1/3 -1/3)
(0 1/2 -1/2)
(1/3 1/6 1/6)
ですが，あってますか？

ところで，対称行列の固有ベクトルは互いに直交するので,
Pの列ベクタのスケールを1に選択したQを使えば，
Q'*A*Q=
(1 0 0)
(0 2 0)
(0 0 4)
と逆行列を使わずに対角化できます(直交行列の逆行列はその転置)．

お礼

回答ありがとうございます！！
おかげで解くことができました。
どうやら計算間違いだったみたいです。
あと、この行列ではなく行列Aを対角化でした、すみません；

回答No.1

koko_u_u

>そこから普通に固有ベクトルを出して対角化しようとしたらうまくいきませんでした。

どう「うまくいかない」かを補足にどうぞ。

補足

固有ベクトルをだしてならべて、
　　(1 0 2)
P=(-1 1 1)
　　(-1 -1 1)
がでました。
この行列を対角化して、P^-1APを求めてみたところ、
　　　(-1 0 12)
1/3(-3 0 12)
　　　(1 0 20)
というのがでて対角化できませんでした。
よろしくお願いします。