対称行列 対角行列

質問

対角行列と対角化について質問させて頂きます。

対角行列は、対角成分以外が0の正方行列です。
対称行列は、t^A=Aが成り立つ正方行列Aです。

ここで、対称行列の定理で、
・対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
というものがあるのですが、これは対角行列にも言えるのでしょうか？
対角行列は対称行列なので言えると思いますが、
テキストに特に記載がなかったので質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

A No.1 補足の追加質問について：
悩みの要点は、質問本体と同じだと思います。
「○○が□□であれば××」という定理は、
「○○が□□であれば」成り立ちます。
「○○が□□で、しかも△△」である場合にも
「××」であることを、当然含んでいるのです。

お礼

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.3

kabaokaba

＞対角行列に関しては固有方程式を作った時に、対角成分の
＞掛け算なので正しいと思うのですが、詳しい証明はどのように
＞行うのでしょうか？

詳しいも何もこれ以外に何がある？

＞テキストに特に記載がなかったので質問させて頂きました。
当たり前すぎて書いてないだけ．
何でもかんでも書いてたら
いつまでたっても先に進めない．

お礼

ご回答ありがとうございました。

＞当たり前すぎて書いてないだけ．
仰る通りですね。
すいませんでした。

回答No.2

Tacosan

「n次対称行列の固有値は重複も数えてn個存在する」って, なんで「対称」って言わにゃならんのだろう. 対称だろうとなんだろうと n次行列の固有値は (重複も数えて) n個あるに決まってるのに.

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.1

alice_44

「対角行列は対称行列だから言える」で十分だと
思うのですが…？

対角行列の固有ベクトルを求めるのは、簡単です。
求めてしまえば、直交することが確認できます。

対角行列の、ある固有値に属する固有ベクトルは、
その値を持つ対角成分と同じ行以外は成分が 0
の列ベクトルになりますね？
異なる固有値に属する固有ベクトルは、
0 でない成分の行番号に共通のものがないので、
内積が 0 です。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

申し訳ありません・・・
自分で確認しておりませんでした。

実際に、2次と3次の対角行列で確認したところ
内積=0になりました。

テキストを読んでいると、n次対称行列の固有値は重複も
数えてn個存在する。
とあったのですが、n次の対角行列でもn個存在するのでしょうか？
因みに、上の計算で用いた対角行列の固有値は2次で2つ，
3次で3つでした。

対角行列に関しては固有方程式を作った時に、対角成分の
掛け算なので正しいと思うのですが、詳しい証明はどのように
行うのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。