行列の対角化

質問

┌1　－2　－2┐
A＝│1　　2　　2│
　　└(-2)　2　　1┘

という行列なのですが、対角化できるのでしょうか？
何度も何度も解きなおしてるんですけど対角化できません。
Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は・・可能ですよね？
固有値として-1、±√7が求まるのですが、±√7に対する固有空間を考えるとどうしても固有ベクトルとして成分がすべて0の（3,1）行列しか出てこなく、対角化行列が
　　┌0　0　0┐
P＝│1　0　0│
　 　└(-1) 0 0┘
といったような行列になってしまうのですが、この場合P^(-1)が存在しないためP^(-1)*A*Pは存在しない事になり、Aは対角化不可能ということになってしまいますよね？？
多分どこか間違った理解をしているところがあると思います。
どなたかご教授お願いできないでしょうか？

回答No.8

adinat

最近ここの削除基準にはちょっと違和感を覚えますが、言っても仕方ないですねえ・・・

♯7さんの感じに理解されるのがベストだと思います。蛇足ながら少しだけ書かせてください。

3次の行列があったとして、この固有値がすべて異なるとします。それをα、β、γとします。こととき、α、β、γに属する固有空間はすべて1次元に必ずなります。そして固有空間はすべて互いに直交します。これは一般論から簡単に証明できます。結論だけを言ってしまえば、固有値-1、±√7が求まってしまえば、固有ベクトルをわざわざ計算しなくても対角化行列が、対角線上に-1、±√7の順に並んだ行列に間違いなくなるのです。ですから、対角化しなさい、という問題なのであれば僕は悪問であるとは思いません。もし行列Aを対角化する行列Pを求めなさい、という意味なら確かに面倒な計算をさせている問題、ということにもなりそうですけれど。

お礼

＞もし行列Aを対角化する行列Pを求めなさい、という意味なら確かに面倒な計算をさせている問題、ということにもなりそうですけれど。

そのとおりなんです。この問題、下にも書いたとおり対角化行列も求めなくては成らないんです。対角化するだけなら確かに普通の問題ですよね。

＞最近ここの削除基準にはちょっと違和感を覚えますが、言っても仕方ないですねえ・・・

これは何の事でしょうか？？？？？

回答No.7

kokkoro

たしかに意地悪な出題ですね笑。もっと計算のしやすいものを出してくれればいいのに、という感じですね。でも見える人には鮮やかな解法が見えているのかもしれません。残念ながら僕には見えませんが・・。

しかしもしこれを解答用紙に書くのであれば具体的な計算からは逃げて

固有方程式|λE-A|=0をといてλは-1,√7,-√7
それぞれに対応する固有ベクトルをX1,X2,X3とし、
P=[X1,X2,X3]とすると
AP=A[X1,X2,X3]
=[AX1,AX2,AX3]
=[-1X1,√7X2,-√7X3] (∵AX=λXが固有値の定義)
=[X1,X2,X3][-1, 0, 0]
　　　　　　　[ 0,√7,0]
　　　　　　　[ 0,0,-√7]
=P[-1, 0, 0]
　　[ 0,√7,0]
　　[ 0,0,-√7]
∴P^(-1)AP=[-1, 0, 0]
　　　　　　[ 0,√7,0]
　　　　　　[ 0,0,-√7]
と対角化できた。

くらいに逃げておくのがいいのかも？ですね。ｗ
↑キレイに表示できなくてぐちゃぐちゃになったらすみません

お礼

おーなるほど～～

でもこの問題、問題文で対角化できるなら対角化行列Pも求めろって書いてあるんです・・・。ほんとヒドイですよね（笑）

回答No.6

ryn

固有値はあってるようですね．

+√7 に対する固有ベクトルを求めると
私は [1,(3-√7),-1] となってしまいました．

> ±√7に対する固有空間のrankを求めると3になりませんか？
これはならないはずですよ．
|λE-A|=0　を満たす解の一つが λ=√7 ですから．

> 「Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は可能」
> というのは間違えていないですよね？
これはあってます．

そして，
> これある試験の問題なのですが、
> 悪問としか思えません・・・。悪問ですよね？（笑）
これは同感です＾＾
線形代数というより平方根の計算練習をさせられているような…

お礼

色々とありがとうございました。
これから次にこのような問題に出くわした時、悪問だとすぐ判断できるくらいの力をつけようと思います。

回答No.5

kokkoro

たしかに修正後の行列ならば固有値は-1,±√7になりますね。-1にたいする固有ベクトルも[0,1,-1]でOKだと思います。あとは±√7に対する固有ベクトルですが、これは途中まで掃き出しで計算してみましたが、固有ベクトルが求まります。計算が合っているかどうかは疑ですが+√7に対する固有ベクトルは[-4,(-3+√5)/2,1]となりました。-√7に対する固有ベクトルもおそらくこれによく似た形になると思われますので、P^(-1)も存在して、対角化可能のはずです。

補足

±√7に対する固有空間のrankを求めると3になりませんか？
そうなると（固有ベクトルの各成分は）自明な解しか持たないという事になって固有ベクトルは成分が全て0の(3,1)行列になると思ったのですが・・・。でもやはり計算ミスですよね。「Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は可能」というのは間違えていないですよね？これある試験の問題なのですが、悪問としか思えません・・・。悪問ですよね？（笑）

回答No.4

ryn

#2 さんのおっしゃるように |λE-A|=0 を計算します．

> 　　　　│t-1　2　2│
> Φ(t)＝│1　t+3　2│
>　　　　│2　-2　t-1│
は　1　t+3　2　の部分がおかしいです．
なぜ突然 t+3 などが出てきたのかがわからないですが，
正しくは　-1 t-2 -2　となります．

お礼

┌1　-2　-2┐
A＝│-1　-3　-2│
　　└(-2)　2　1┘
の間違いでした・・・と何度も同じ文を貼り付けてスミマセン。
もう一度計算してみていただけないでしょうか？？
本当に申し訳ありません・・。

回答No.3

yumisamisiidesu

私は、実際に計算をしていなくてごめんですが
固有ベクトルを求める際は3元1次連立をとくので、
そのときは、Gaussの掃出し法を使った方がいいと思います

まさか両辺の左側にインバース掛けるなんてことしてないですよね

回答No.2

kokkoro

固有値は|λE-A|=0を解くことによって得られますよね、恐らくこの計算を間違えているのではないかと思います。こちらで計算してみたのですが、固有値は-1,1,4となりました。これらに対応する固有ベクトルを求めて、それらの固有ベクトルを並べた行列をＰとすればP^(-1)も存在し、P^(-1)APは対角行列になります。

補足

┌1　-2　-2┐
A＝│-1　-3　-2│
　　└(-2)　2　1┘
の間違いでした・・・
もう一度計算してみていただけないでしょうか？？
本当に申し訳ありません・・。

回答No.1

ryn

固有値をもう一度計算してみてください．
計算ミスをしていると思います．

お礼

┌1　-2　-2┐
A＝│-1　-3　-2│
　　└(-2)　2　1┘
の間違いでした・・・
もう一度計算してみていただけないでしょうか？？
本当に申し訳ありません・・。

補足

│t-1　2　2│
Φ(t)＝│1　t+3　2│
　　　　│2　-2　t-1│
＝(t-1)^2*(t+3)+8-4-4(t+3)-2(t-1)+4(t-1)
＝(t+3)((t-1)^2-4)+2(t-1)+4
＝(t+3)(t+1)(t-2)+2(t+1)
＝(t+1)((t+3)(t-3)+2)
＝(t+1)(t^2-7)=0
∴t＝1、±√7（Φ(t)＝0は固有方程式）

ではだめでしょうか？？
何度も何度も計算してるのですが・・・もうかれこれ10回くらいは・・・