対称行列を直行行列で対角化

質問

次の対称行列を直行行列で対角化せよ、という問題で、解き方が分からないので一つずつ順を追って教えていただきたいです。

3　0　0
0　1　2
0　2　1

自分で計算してみて、固有値は-1と3と出たのですが、この値で合っているのか、合っていたとしてこの次に固有ベクトルをどうすれば求めるられるのかが分からないです…

よろしくお願いします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

では簡単に。まず λ=-1 では A-λE は

4 0 0
0 2 2
0 2 2

なので (A-λE)X = 0 ( X = (x, y, z)^T, ^T: 転置 )なら

x = 0, y = -z になるから、固有空間は直線で、片方の方向を採用して正規化すると
固有ベクトルは

v1=(0, √(2)/2, -√(2)/2)~T

λ=3 はちょっとやっかいで

0 0 0
0 -2 2
0 2 -2

だから y = z で、固有空間は平面を表すベクトル集合になります。
この平面は λ=-1 の固有ベクトルと垂直なので、適当に
選んだ正規化された基底を2こ選べばよい。

＃対称行列の固有ベクトルは勝手の直交するけど、この問題はそれを
＃わからせる目的なのでしょう。

y = z　を満たす直交した正規化されたベクトルを適当に見繕うと
v1 = (1, 0, 0)^T
v2 = (0, √(2)/2, √(2)/2)~T

なので対角化用の行列 P は3個のベクトルを適当に並べて

1 0 0
0 √(2)/2 √(2)/2
0 √(2)/2 √(2)/2

とすればよい。

P^(-1)AP

で対角化できます。

直交行列では、P^(-1)=P^T を利用すると計算が
簡単です。

お礼

ありがとうございました。
よく分かりました。

補足

回答ありがとうございます。
本文に書かれていた、

1 0 0
0 1/√2 1√2
0 1√2 1√2

というのは、問題を直交化したものですよね？
これを対角化すると、

3 0 0
0 3 0
0 0 -1

のようになると思うのですが、このそれぞれの値の並べ方はどうやって決めるのでしょうか？

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>1 0 0
>0 √(2)/2 √(2)/2
>0 √(2)/2 √(2)/2

ああ、間違ってます。符号が抜けてます。

>1 0 0
>0 √(2)/2 √(2)/2
>0 √(2)/2 -√(2)/2

がただしい。

これを使って対角化します。
対称行列なので P^(-1)=P^T = P ですが

P^(-1)AP

で対角化できます。

3 0 0
0 3 0
0 0 -1

になりますね。

>1 0 0
>0 1/√2 1√2
>0 1√2 1√2

>というのは、問題を直交化したものですよね？

いえ、Pの各ベクトルは直交するようにしますが、元の対称行列を
直交化する必要はありません。

対角化の固有値の順番は P の各固有ベクトルの固有値の順番になるはずですが、
どうでもよいはなしです。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(A―λE)x=0 (A:行列、E:単位行列、x:縦べクトル)
を解くだけですが、わからないのは固有ベクトル
の求め方でしょうか? それとも重複固有値の
固有ベクトルの求め方？

補足

すみません。
何も分かっていないので、対角化までの過程を全て教えていただきたいです。

回答No.1

Tacosan

教科書に書いてありませんか?

補足

教科書を持っていないのです。