行列の対角化について

質問

2×2行列A=
[11 -2]
[8 3]
の固有ベクトルを求めて、
ジョルダン標準形に対角化する行列を3つ以上明記して下さい。
ただし、単なるスカラー倍のものは除く。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

問題の行列を A と置きます。
固有値固有ベクトルは、Ax=λx を解いて
λ=7, x=s(1,2)　s は 0 以外で任意。
固有ベクトルが一次元だから、
ジョルダン胞は二次以上で、標準形は
7 1
0 7
と判ります。

(P^-1)AP がジョルダン標準形になる P は、
第一行が x で、第二行は Ay=x+7y の解です。
解いてみると、y=t(1,2)+s(1/4,0)
t は任意、s は x と共通　となっています。
s,t にイロイロ代入してみましょう。
比 s:t が異なれば、スカラー倍にはなりません。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

教科書どおりにやると

[a, b; c, d] は2x2の行列, [a; b]は列ベクトル、[a, b] は行ベクトルを表すとすると
#octave風です(^^;

固有方程式 (λ-7)^2=0 を解いて λ=7
これに対する固有ベクトルは (A-7E)X=0 に対して一種類しかないので
対角化は不可能

S=A-7E =[4, -2; 8, -4] として Su≠0 のベクトル u を適当に見つける
例えば u = [1; 1] すると v = Su = [2; 4]

なので2個のベクタを繋げて [v u] = [2, 1;4, 1] = P → P^(-1)=[-1/2, 1/2; 2, -1]

P^(-1)AP=[7, 1; 0, 7]

でジョルダンになりました(^^;

uは Su≠0 なら任意なので、後2個見つけてください。

以上。

回答No.1

Tacosan

問題は分かった.

で, 質問は何?