ベクトル

質問

図のような三角形ＯＡＢがある。実数Ｘ、Ｙに対し、OPベクトル＝ＸOAベクトル＋ＹOBベクトルによって定まる点をPとする。

（1）Ｘ、Ｙが３Ｘ＋Ｙ＝２を満たして変化するとき、点Ｐの存在する範囲を図示せよ。

（2）Ｘ、ＹがＸ≧０、Ｙ≧０、３Ｘ＋Ｙ≦２を満たして変化するとき、点Ｐの存在する範囲を図示せよ。

ちょっと難しくてよくわかりません(;_;)

教えて下さい!!

回答No.5

hugen · ベストアンサー

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/obliquecoordinate.htm

回答No.4

ninoue

次のように式を変形していくと分り易くなりそうです。

OP=x*OA +y*OB;
3x+y=2; x>=0,y>=0
==>
y=2-3x; x=0...2/3

OP=x*OA+y*OB=x*OA+(2-3x)*OB=2*OB+x*(OA-3*OB);

このベクトルOPの式は ベクトル2*OB に OA-3*OB のベクトルを
x:0...2/3 の範囲の大きさで変化させながら加える事を示しています。

ベクトルOBを2倍の長さにしたOCの先端の点C
ベクトルOBを3倍の長さにしたODの先端の点D
ベクトルOAを2/3の長さにしたOHの点H

以上のように考えてくると、点Pは上記の内の2点からなるある辺の上を動く事が分ります。

理解出来たら答を補足等に書いて下さい。

次の答も引き続いて簡単に分ると思われます。
(3点で囲まれる.....)

回答No.3

dreamfighter

＃２です。訂正します。

（１）にX≧0,Y≧0の条件はなかったですね。これがないと、点Ｐは線分A'B'ではなくて、直線A'B'になります。訂正しておいてください。

回答No.2

dreamfighter

基本のベクトル方程式
（１）OP(→)=xOA(→)+yOB(→),x+y=1,x≧0,y≧0は線分ＡＢ上の点Ｐを表す。（点Ａ、Ｂ含む）
（２）OP(→)=xOA(→)+yOB(→),x+y≦1,x≧0,y≧0は三角形ＯＡＢの内部および周上の点Ｐを表す。

解答
（１）３Ｘ＋Ｙ＝２の両辺を2でわって（＝１を作ります！）　(3/2)Ｘ　+　(1/2)Ｙ＝1・・・（I）

ここで(3/2)X =X' ,(1/2)Y=Y'・・・・（II） とすれば　（I）よりX'+Y'=1・・・（III）

また（II）よりX =(2/3)X' ,Y=2Y'なので
OP(→)=XOA(→)+YOB(→)=(2/3)X'OA(→)+2Y'OB(→)=X'[(2/3)OA(→)]+Y'[2OB(→)]・・（IV）となり

(2/3)OA(→)=OA'(→),2OB(→)=OB'(→)・・・（＊）をみたす点A',B'をとると、（IV）より

OP(→)=X'OA'(→)+Y'OB'(→)・・・・（V）

またX'≧0,Y'≧0・・・・（VI）

従って、（III）（VI）（V）より基本ベクトル方程式（１）から点Ｐは線分A'B'上の点。（両端を含む。）

（２）
基本ベクトル方程式（２）より点Ｐは△OA'B'の内部。ただし辺および頂点も含む。

図示は自分でお願いします。（＊）をみたすA',B'をとればよいです。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
確かに、慣れないとピンとこないかもしれませんね。

たとえば、OA→と OB→が成分表示で
OA→＝ （1, 0）、OB→＝ (0, 1)と表されたとすると
(1)や(2)はどのように回答しますか？
たぶん、方眼紙の上で図示することも難しくないかと思います。

それを「斜めにしたり」「長さを伸ばしてみたり」したものを考えればよいです。
用語を用いて表すと、このようなものは「斜交座標」と呼ばれたりすることもあります。

X＝ 0や Y＝ 0といった値を具体的に代入してみるのも一つの手だと思います。