ベクトル方程式(点の存在範囲)

質問

(1)(2)に関して、質問があります。
(1)三角形OABがある。
実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。
(2)三角形OABがある。
実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。

まず、(1)は大数の問題で、解答もあるのですが、
"s+2t=k(kは正の定数)とおき、
(→OP)=s/k(k→OA)+2t/k(k/2→OB),
s/k+2t/k=1,s/k≧0,2t/k≧0,により、
(→OA')=k(→OA),(→OB')=k/2(→OB)
とおくと、Pは線分A'B'上を動く。(以下略)"とあるのですが、
点Pが直線A'B'上を動くと決まるのは,
"s/k+2t/k=1"という式で、点Pが直線A'B'上にあるよ！ということを示しているのですよね？
それを"s/k≧0 , 2t/k≧0"という条件が直線A'B'上の動く範囲を指定していて、この場合は線分A'B'上を動くということを示しているのですよね？
ちなみにもしこのとき0≦s≦1の条件がついたとしたら、どう考えるのでしょう？

また(2)については、(1)のように定数kで固定しようと考えてみてみても、うまくつながりません。最初の不等式をいじって条件を導くべきなのでしょうか？

ベクトル方程式については、高校時代からあやふやで、(2)のようになると手も動きません;;
浪人ということもあり、ここはしっかり理解したいと思っているので、みなさん是非教えてください！

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

「高校の」ベクトル（いわゆる矢印ベクトル）ってのは
「斜めの座標」にしかすぎません．

三角形OABとかいわれてるなら，まずは
Oを原点，Aを(1,0)，Bを(0,1)として
やってみましょう．
このとき

実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。

ってのは，単に普通の座標で
x,y>=0，x+2y<=2
っていわれてるのと同じだって理解できますか？
単にPの座標が(s,t)になってるので文字を変えるだけ．
つまり「三角形の内側」．
これが「0≦s≦1」だったら
y>=0，x+2y<=2，0<=x<=1
となるわけです．

じゃあ，
「Oを原点，Aを(1,0)，Bを(0,1)」
じゃなかったらどうなるか？
座標軸が斜めになるだけです．
＃理論的な正当化には一次変換が必要だけども
＃直感的には明らかでしょう？

(2)に関しても同様．
同じように普通の座標系で考えれば
Pは(s+2t,t-s)で s-t>=0 , s+t<=2 , t>=0
これを図に描けばいいのです．
X=s+2t
Y=t-s
とおけば，
t=(X+Y)/3
s=(X-Y)/3
だから，X,Yの条件に直せるでしょう．
これを普通の座標で描いてから
斜めの座標に移せば終わりです．

この考え方は結構本質です．

大数の解は，こういうことを理解して振り返れば
何をやってるのかは自明でしょう．
直線を考えるときには「x+y=1」だけしか考えなくてよい．
ただし座標の方が斜めになるなるんだということなんです．

そして，複数の条件があるときは
一番都合のよい条件だけを考えて「大きな解」を出しておいて，
さらに他の条件を考えて解を絞り込みます．

受験らしい解法をしてみると

実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。

(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)
=s((→OA)-(→OB)) + t( 2(→OA) + (→OB))
=(s/2) 2((→OA)-(→OB)) + (t/2) 2( 2(→OA) + (→OB))
s/2 + t/2 ≦2 , t/2 ≧0

だから，
2((→OA)-(→OB)) の終点と2( 2(→OA) + (→OB))の終点と結ぶ
直線を考えて
その直線のO側全体と
2((→OA)-(→OB)) 以上の部分がでてきます．
さらに
s-t≧0 つまり，t/2 =< s/2 という条件が加わるので
2((→OA)-(→OB)) の終点と2( 2(→OA) + (→OB))の終点と結ぶ線分の
中点と原点を結んだ直線以下となります．

結局「斜めの座標」というのが本質なので
それを念頭におけばいいのです．

お礼

しばらく考えていましたが、やっとすっきり繋がりました。
斜交座標というんでしょうか？
とにかく座標はいいですね。
高校で習ったただ式変換するよりずいぶんわかりやすいです！
ありがとうございました！